¿Podemos tomar el logaritmo de un producto infinito?

Question

Supongamos que tenemos un producto infinito $S = \prod_{n=1}^{\infty} a_n$ de números reales positivos. Entonces, ¿es siempre el caso que $$ \log(S) = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n ? $$

Estoy seguro de que es así, pero quería asegurarme. Gracias.

Answer 1

\begin{align} \log\prod_{n=1}^\infty a_n&=\log\lim_{k\to\infty}\prod_{n=1}^ka_n\\ &=\lim_{k\to\infty}\log\prod_{n=1}^ka_n\\ &=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\log a_n\\ &=\sum_{n=1}^\infty\log a_n \end{align} Pude cambiar el $\log$ y el $\lim$ porque $\log$ es continua.

Answer 2

Sí (con una pequeña salvedad sobre si desea tratar con $-\infty$ como suma). Si el producto converge a algún $S > 0$ entonces $$\ln \prod_{n=1}^N a_n\xrightarrow[N\to\infty]{} \ln S$$ por continuidad del logaritmo. Pero tenemos $$ \ln \prod_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N \ln a_n $$ así que tenemos que la serie $\sum_{n=1}^N \ln a_n$ es convergente, y su límite es efectivamente $\ln S$ .

Ahora bien, si $S=0$ Sí que tienes $\sum_{n=1}^N \ln a_n \xrightarrow[N\to\infty]{} -\infty$ pero depende de usted si quiere llamar a esto " $\ln S$ "...