Las funciones de energía libre son analíticos o no-analíticos en las transiciones de fase?

Question

Yo ya vi esta Phys.SE post y parece perfectamente razonable que la energía libre que describe un sistema debe ser un no-analítica de la función con el fin de mostrar una transición de fase.

Una analítica de la función puede ser Taylor se expandió alrededor del punto crítico. En una fase de transición de las derivadas de la energía libre son discontinuo, por lo que la función no puede ser de Taylor ampliada. Por tanto, la energía debe ser no-analítica.

Mi pregunta surge porque en el Landó de la teoría de las transiciones de fase, se considera que cada energía libre debe ser, en efecto, analítica.

Entonces, ¿por qué Landau estados tal cosa? También en el paramagnet-ferroimán fase de transición, la discontinuidad de la función es la magnetización, que no es un derivado de la $F(M,T)$, pero se dice que es un de segundo orden de la fase de transición, ¿por qué?

Answer 1

Landau energía libre es sólo una aproximación a la real de la energía libre en el límite termodinámico. Por esa razón, Landau energía libre puede ser analítico, mientras que el real no lo es. Permítanme mostrarles cómo la aproximación de las obras.

Como usted puede saber, el Landó de la energía libre se define de la siguiente manera, suponiendo que el modelo de Ising:

$$Z\left(h,T\right)=\sum_{\left\{ s_{i}\right\} }\exp\left(-\beta H\left(\left\{ s_{i}\right\} \right)\right)=\sum_{m}\exp\left(-\beta F_{L}\left(m,h,T\right)\right)$$

donde $Z$ es la función de partición, $\{s_i\}$ representa todas las posibles configuraciones de vuelta, y la suma de $m$ stands para cada posible de magnetización.

En la teoría de Landau, en el punto crítico, el punto de $m^*$ tal que $F_L(m^*,h,T)$ es mínimo. A continuación, tenga en cuenta que $ \exp\left(-\beta F_{L}\left(m^*,h,T\right)\right) $ es de un máximo debido a que el signo menos. Entonces, podemos escribir

$$\log Z= \log \left [\sum_{m}\exp\left(-\beta F_{L}\left(m,h,T\right)\right) \right ] \geq \log \left [\sum_{m}\exp\left(-\beta F_{L}\left(m^*,h,T\right)\right) \right ],$$

Además de esta desigualdad, se puede obtener una cota superior para esta expresión. La suma incluye muchos valores diferentes para la magnetización, de -1 a +1; usted puede convencerse a sí mismo (esta es la parte más difícil de la demostración) que si reemplazamos la suma del producto de la $N$ en la configuración mínima, esta cantidad será más grande que el original:

$$\log Z \leq \log \left [N \exp\left(-\beta F_{L}\left(m^*,h,T\right)\right) \right ]$$

Ahora tenemos casi la misma. La cantidad es limitada,

$$\log\left[N\exp\left(-\beta NF_{L}\left(m^{*},h,T\right)\right)\right]\geq\log Z\geq\log\left[\exp\left(-\beta F_{L}\left(m^{*},h,T\right)\right)\right]$$

$$\log N-\beta F_{L}\left(m^{*},h,T\right)\geq \log Z \geq-\beta F_{L}\left(m^{*},h,T\right).$$

Ahora vamos a utilizar la definición de la real, la energía libre, $F=-kT\log Z$. Multiplicando por $1/\beta$ la expresión anterior, tenemos que la real, no la analítica de la energía libre, está delimitada por el Landó de la energía libre en el mínimo:

$$k T\log N-F_{L}\left(m^{*},h,T\right)\geq -F\left(h,T\right)\geq-\beta F_{L}\left(m^{*},h,T\right).$$

A continuación, vamos a cambiar en intensivo de las variables de $F_L=Nf_L$ y dividir por el número de vueltas $N$, para obtener:

$$\frac{\log N}{N}-f_{L}\left(m^{*},h,T\right)\geq f\left(h,T\right)\geq- f_{L}\left(m^{*},h,T\right)$$.

Observe que una vez que hacemos el límite termodinámico, el plazo $\log(N)/N \rightarrow 0$ y, a continuación, tenemos que $f_{L}\left(m^{*},h,T\right) = f\left(m^{*},h,T\right)$, por lo que en el límite termodinámico, la analítica Landau energía libre es el mismo que el real. Sin embargo, en el sistema real, real, no un infinito número de vueltas, lo que significa que esta es sólo una aproximación. En los experimentos, hay un gran número de tiradas, y esta es la razón por la teoría de Landau funciona muy bien, pero si usted trabaja con poco $N$ la diferencia entre los dos es evidente.

Sobre su segunda pregunta, creo que estás confundiendo un poco las cosas: la transición es de segundo orden debido a la magnetización, que es la primera derivada de la energía libre con respecto al campo magnético externo, es continua en el punto crítico. Sin embargo, la susceptibilidad, que es la segunda derivada no es continua, es decir, una transición de fase de segundo orden.

Tal vez lo que confunde es que la teoría de Landau le da una función definida a trozos de magnetización. Sin embargo, precisamente calcular $T_c$ por la restricción de que la magnetización tiene que ser continua.

Edit: la no-analiticidad de la energía libre, si no me equivoco, es el respeto a la magnetización -pero no con respecto al campo externo $h$.

Answer 2

La página de Wikipedia es ser descuidado. Que significa que la energía libre, la densidad es una analítica de la función de la media-campo de parámetro de orden, mientras que en una térmica de la fase de transición de la energía libre, la densidad es un no-analítica de la función de la temperatura (o para un cero a la temperatura de transición de fase, la de la externa parámetro está ajustado a través de la transición).

El parámetro de orden es un derivado de la energía libre de la densidad con respecto a una ruptura de la simetría parámetro externo. En el paramagnet-ferroimán de transición, el parámetro externo es el campo aplicado $h$ que entra en el Hamiltoniano como una ruptura de la simetría plazo $-h\ M$, en cuyo caso el parámetro de orden $M = T\ \partial f / \partial h$ es de hecho un derivado de la energía libre de la densidad.

Answer 3

Voy a dar una posible respuesta a su pregunta. Yo uso el lenguaje de Ising ferroimán/paramagnet transición de fase, pero esto es sólo por conveniencia como el mismo es mucho más general. Suponga que el sistema está por debajo de la temperatura de Curie. Entonces, la energía libre es una analítica de la función de la energía libre tanto al $h>0$ e al $h<0$. En $h=0$, la energía libre no es ni siquiera diferenciable, por lo que no es, obviamente, analítica. Esta no es la pregunta pertinente.

Es decir, la verdadera cuestión es si la energía libre puede ser analíticamente continuación de la $h<0$$h>0$. Se puede demostrar que la energía libre que posee derivadas direccionales de todos los pedidos en $h=0$, es decir, $$ \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}_-h^n} f(\beta,h)\vert_{h=0} $$ existe para todas las $n$ donde ${\rm d}/{\rm d}_-h$ significa que la izquierda derivados. Bueno, la cuestión se reduce a si la serie de Taylor converge en un pequeño disco alrededor de $0$. Esto es realmente no es el caso, al menos para finito de modelos de la gama a bajas temperaturas suficientemente: no hay ninguna continuación analítica de la energía libre más allá del punto de transición. Este resultado fue originalmente demostrado por Isakov en este documento. Su análisis se limita a la modelo de Ising, pero fue más recientemente extendido a una gran clase de 2-fases de modelos; ver la discusión en este documento.

Una de las conceptualmente más interesantes consecuencias de Isakov el resultado es que la descripción habitual de estados metaestables como continuación analítica de la energía libre a través del punto de transición es incorrecto, al menos para finito de la gama de interacciones (y, probablemente, de corto alcance, también).