Si $ f'(c) > 0 $, entonces no es un $ x $ tal que $ f(x) > f(c) $.

Question

Aquí está la tarea de la pregunta que tengo:

Si $ f: [a,b] \to \Bbb{R} $ es diferenciable en a $ c $ donde$ a < c < b $$ f^{\prime}(c) > 0 $, demostrar que existe una $ x $ tal que $ c < x < b $$ f(x) > f(c) $.

(Agradezco su ayuda!)

Answer 1

Sugerencia: suponga $f$ tiene un (global) máxima en $c$, concluir algo acerca de $f'(c)$ y llegar a una contradicción.

Answer 2

Sugerencia: saber que $\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f^{\prime}(c)>0$, para considerar lo que sucede si $f(x)\le f(c)$$x>c$.

Answer 3

Dependiendo de cómo muchos de los teoremas tenemos a nuestra disposición, esta prueba es innecesaria. Me voy a dar de todos modos sólo por diversión, aunque.

Hemos asumido que $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = l > 0$$ Por lo tanto, para cualquier $\varepsilon > 0$, existe un entorno de a $c$ donde $$\left\lvert\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-l\right\rvert<\varepsilon$$ para todos los $x$ en dicho barrio. Lo que esto significa para tal $x$ que son mayores de $c$ (de modo que podemos multiplicar por $x-c$ sin alterar las desigualdades) es que: $$\quad \quad \,\,\,l-\varepsilon<\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<\varepsilon + l \\ \begin{align} &\Rightarrow &(l-\varepsilon)(x-c)<f(x)-f(c) < (l+\varepsilon)(x-c) \end{align}$$ Tome $\varepsilon = l/2$, e $x_{\varepsilon}$ lo suficientemente cerca como para $c$ (y superior) para obtener $$\frac{l}{2}(x_{\varepsilon}-c) < f(x_{\varepsilon})-f(c)$$ y a la izquierda de la expresión es mayor que $0$, a partir de que $$f(x_{\varepsilon}) > f(c)$$

Como un extra, la última parte de la prueba que han trabajado para cualquier positivos $\varepsilon < l$, de la que tenemos en el hecho de ver que hay todo un intervalo abierto $(c,y)$ de los puntos donde $f(x) > f(c)$ (permitiendo $y = +\infty$).