Los cónicos sobre los campos de característica dos

Question

Yo estaba rozando a través de mis soluciones de los ejercicios del Capítulo I de Hartshorne y me encontré con dos ejercicios que no han sido capaces de resolver. Ambos ejercicios son sobre cónicas.

• El primer ejercicio (1.1 c) pide a la siguiente: Dada una irreductible, cuadrática, polinómica $f$$k[x,y]$, muestran que los afín coordinar anillo de $k[x,y]/(f)$ es isomorfo al anillo de coordenadas de la parábola $y=x^2$ o de la hipérbola $xy=1$.

• El segundo ejercicio (3.1 c) pide a mostrar que cualquier cónica en $\mathbf{P}^2$ es isomorfo a $\mathbf{P}^1$.

Ambos ejercicios he sido capaz de resolver siempre que las características del campo es diferente de 2. Para el primero que utiliza la fuerza bruta de cálculo donde tengo que dividir por dos alot (como morfismos en realidad no son permitidos en este punto). Para la segunda he utilizado una matriz simétrica a reducir, para el caso en que la definición de polinomio es de la forma $F(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2$. Este enfoque asume también una característica distinta de 2 para la construcción de dicha matriz.

Mi pregunta ahora es cómo hacer esto en el caso de que la característica de la base es de campo 2. Me parece que no puede encontrar una manera de adaptar mis métodos actuales para este caso. Gracias de antemano por las respuestas!

Answer 1

He escrito los detalles para el siguiente si usted necesita, pero creo que es más fácil ver a un boceto, a continuación, carne a cabo por su propia cuenta. La idea básica es que el "cambio de coordenadas" hecho a continuación son sólo $k$-álgebra de automorfismos de a $A(W)$ donde $W$ es nuestro cónica.

Deje $f = a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2 + b_1x + b_2y + c$$W = Z(f) \subseteq \mathbb{A}^2$. El reclamo es que el $A(W) \cong A(Z(y-x^2))$ si $a_{12} = 0$, e $A(W) \cong A(Z(xy-1))$ si $a_{12} \ne 0$.

Si $a_{12} = 0$, sin pérdida de generalidad $a_{11} \ne 0$. El cambio de coordenadas $x \mapsto x + \sqrt{a_{22}/a_{11}}y$, podemos asumir $a_{22} = 0$. $b_2 \ne 0$ ya que de lo contrario $f$ es reducible, por lo que el cambio de coordenadas $y \mapsto y + (b_1/b_2)x$ $x \mapsto x + \sqrt{c}$ y estamos en el caso de $f = y - x^2$.

Si $a_{12} \ne 0$, dejando $\alpha$ tal que $\alpha^2 + a_{12}\alpha + a_{22} = 0$, el cambio de coordenadas $x \mapsto x - \alpha y$ $y \mapsto y + (a_{11}/a_{12})x$ a reducir, para el caso cuando $f = a_{12}xy + c$. $c \ne 0$ de lo contrario, $f$ es reducible, de modo que en el caso de $f = xy - 1$ después de reescalado.