Bjarni Jonsson tenido un resultado algo como el mencionado por Ricky Vacaciones.
Aparece en
Jónsson, Bjarni En directo descomposiciones de torsión libre de abelian grupos.
De matemáticas. Scand. 5 de 1957, 230-235.
Voy a copiar la descripción de su grupo aquí.
Considerar cuatro dimensiones de espacio vectorial $V$ sobre el campo de los números racionales, vamos a $\{x, y, z, u\}$ ser una base para $V$, y vamos a
\[x' = 3x-y\quad \textrm{y}\quad y' = 2x-y.\]
A continuación, $\{x', y', z, u\}$ es también una base para $V$, y
\[x = x'-y' \quad \textrm{y}\quad y = 2x'-3y'.\]
Deje $A, B, C, D$ consta de todos los elementos de a $V$ que puede ser escrito en los formularios
\[\begin{array}{rl}
\frac{a}{5^n}x, \quad &\frac{b}{5^n}y+\frac{c}{7^n}z+\frac{d}{11^n}u+
\frac{e}{3}(y+z)+\frac{f}{2}(y+u),\\
\frac{a}{5^n}x'+\frac{c}{7^n}z+\frac{e}{3}(x'-z),
\quad &\frac{b}{5^n}y'+\frac{d}{11^n}u+\frac{f}{2}(y'-u),
\end{array}
\]
respectivamente, con $a, b, c, d, e, f$ $n$ ser enteros.
Jonsson demuestra que $A\oplus B = C\oplus D$, $A, C, D$
son indecomposable (afirma sin pruebas que el mismo
es cierto para $B$), y que $A$ es el único de ellos
que es integrable en a $\mathbb Q$.
$\ldots$ I la bienvenida especialmente a los ejemplos con un simple descripción $\ldots$
Tal vez Jonsson el ejemplo de no satisfacer este criterio.
Si sólo lo necesitas para fines de ilustración, aquí es un
un ejemplo muy sencillo de una categoría de módulos.
Deje $R$ integrante de dominio que ha comaximal ideales $I$ $J$
que no son finitely generado. Por ejemplo, usted podría tomar
$R=\mathbb C[x,y]$, $I = (x,y)$, $J = (x-1,y)$. La secuencia exacta de $R$-módulos
$$
0\I\cap J\I\oplus J\stackrel{\alpha} {\,} R\0, \quad\alpha(x,y)=x+y,
$$
se divide debido a que el término adecuado es libre.
Por lo tanto $I\oplus J\cong R\oplus (I\cap J)$.
Cada una de las $R, I, J, I\cap J$ es indecomposable, ya que son
ideales en un dominio. $R$ es cíclica, sino $I$ $J$ no lo son,
así que al menos un término de la izquierda no es isomorfo a al menos un término en el derecho.
