Límite de la integral sobre la $[0,1]$ $\frac{ne^{-x}}{1+nx}$

Question

Necesito un poco de ayuda para calcular el siguiente límite (en teoría de la medida):

$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{ne^{-x}}{1+nx}dx$$

Mi primera idea fue utilizar la monotonía teorema de convergencia o el teorema de convergencia dominada. Así que antes de intentar cualquier cosa, sólo traté de tomar el límite del término de la integral y su integración, como sigue:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{ne^{-x}}{1+nx} = \frac{e^{-x}}{x}$$

$$\int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x}dx$$

Y ahí es donde me quedé atrapado. Me registré en Wolfram Alpha para el resultado, así que puede tener una idea sobre cómo proceder, pero dice:

$$\int \frac{e^{-x}}{x}dx = Ei(-x)$$

que no me ayuda. Así que supongo que no es la manera de proceder. Pensé que tal vez lo que necesito superior y el límite inferior es por algo que converge en el mismo valor, pero incluso entonces tengo idea de cómo. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Todo lo que necesitamos es reconocer que

$$\int_0^1\frac{ne^{-x}}{1+nx}\,dx\ge \int_0^1\frac{n/e}{1+nx}\,dx=(n/e)\log(1+n)\to \infty$$

Y hemos terminado.

Answer 2

Gracias a John Dawkins' ayuda tengo la respuesta:

$$\frac{ne^{-1}}{nx+1} \leq \frac{ne^{-x}}{nx+1}$$

y

$$\lim_{n \to \infty} \uparrow \frac{ne^{-1}}{nx+1} = \frac{e^{-1}}{x}$$

$$\int_{0}^{1} \frac{e^{-1}}{x}dx = +\infty$$

$$\Longrightarrow \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} \frac{ne^{-x}}{nx+1}dx = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x}dx = +\infty$$

A continuación, puede utilizar el Fatou lema o la monotonía teorema de convergencia.