Continuidad uniforme.

Question

He estado trabajando en este problema, mientras que el estudio para un examen completo, y yo he venido para arriba con una solución que no me gusta. Agradecería algunas críticas. Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser uniformemente continua de la función con la propiedad de que $f\in L^{1}\left(\mathbb{R}\right)$. El reclamo es que el $f$ es necesariamente limitada en $\mathbb{R}$. Mi solución que no me gusta es como sigue:

Supongamos que al contrario que $f$ no se limita a $\mathbb{R}$. Deje $M\in\mathbb{R}^+$, y encontrar $x_0\in\mathbb{R}$ satisfacción $\left|f\left(x_0\right)\right|>M$. Debido a $f$ es, por supuesto, continua, hay un $\delta>0$ tal que para todos los $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$,$\left|f(x)\right|>M$. De ello se sigue que $$\int_{\mathbb{R}}{|f|\hspace{3pt}dm}\geq\int_{\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)}{|f|\hspace{3pt}dm}\geq\int_{\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)}{M\hspace{3pt}dm}=M\cdot 2\delta.$$ But $M$ was arbitrary, so we have that, essentially, $$\int_{\mathbb{R}}{|f|\hspace{3pt}dm}\geq M$$ for any $M\in\mathbb{R}^+$, and therefore $$\int_{\mathbb{R}}{|f|\hspace{3pt}dm}=\infty.$$ Hence $f\noen L^{1}(\mathbb{R})$, a contradiction. Therefore it must be the case that our assumption that $f$ was unbounded is false. $\por lo tanto f$ es acotado, como se reivindica.

Principalmente, no me gusta el hecho de que me parecía que no uso $uniform$ continuidad de $f$ en la prueba. Agradecería cualquier pensamientos, críticas, etc.

Answer 1

¿Por qué no mostrar aún más: en Realidad, $f\in C_0(\mathbb{R})$, $\lim_{x\to-\infty}|f(x)|=\lim_{x\to+\infty}|f(x)|=0$ (decimos que $f$ se desvanece en $\infty$). Esto implica que $f$ está acotada.

Vamos a tratar el caso de $x\to+\infty$. Si no tuviéramos $\lim_{x\to+\infty}|f(x)|=0$, existiendo $\varepsilon>0$ y un aumento de la secuencia de $x_n\to\infty$$|f(x_n)|>\varepsilon$. Tomando subsecuencias, suponga $x_{n+1}>x_n$. Uniforme de continuidad nos da $\delta<1$ tal que para cada a$n$, y para cada $x\in (x_n-\delta,x_n+\delta)$,$|f(x)|\geq\varepsilon/2$. A continuación, $$\int_\mathbb{R}|f(x)|dx\geq\sum_{n=1}^\infty\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta}|f(x)|dx\geq\sum_{n=1}^\infty \delta\varepsilon=\infty,$ $ una contradicción.