Una integral definida de 0 a 1 devuelve un valor menor que 0 si existe c en $[0,1]$ tal que $f(c) < 0$

Question

El problema exacto: Dejemos que $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua con $f(x) \leq 0$ para todos $x \in [0,1]$ . Queremos demostrar que $\int_0^1 f(x) dx < 0 \iff \exists c \in [0,1]$ s. t. $f(c) < 0$ .

Para la dirección de avance tengo lo siguiente: Supongamos que $\int_0^1 f(x)dx < 0$ pero para todos $c \in [0,1] f(c) \geq 0$ . Entonces, si $f(c) = 0$ para todos $c \in [0,1]$ entonces $\int_0^1 f(x)dx = 0$ contradicción.

Sin embargo, tengo problemas con la otra dirección: Supongamos que existe $c \in [0,1]$ tal que $f(c) < 0$ . Entonces...

Answer 1

Si $c\in [0,1]$ y $f(c)<0$ existe un intervalo cerrado $J\subset [0,1]$ con longitud positiva $|J|$ con $c\in J$ , de tal manera que $$\forall x\in J\; (|f(x)-f(c)|\leq |f(c)|/2).$$ Esto se debe a que $f$ es continua. $$\text {Hence }\quad \forall x\in J\;(f(x)\leq f(c)/2).$$ Ahora $\int_{[0,1] \backslash J}f(x)dx\leq 0$ porque $f$ nunca es positivo. Por lo tanto, $$\int_0^1f(x)dx=\int_Jf(x)dx+\int_{[0,1]\backslash J}f(x)dx\leq \int_Jf(x)dx\leq $$ $$\leq \int_J(f(c)/2)dx=|J|f(c)/2<0.$$

Answer 2

$\Rightarrow)$ Supongamos que $\forall c\in[0,1]$ tenemos $f(c)=0$ entonces $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ lo cual es una contradicción.

$\Leftarrow)$ Supongamos que $\exists c\in[0,1]$ tal que $f(c)<0$ entonces por continuidad existe un intervalo $(a,b)\subset[0,1]$ tal que $c\in(a,b)$ y $f(x)<0$ para todos $x\in(a,b)$ . Consideramos la función $$ g(x):=\left\{\begin{array}{ll}0 & \mbox{If }x\in[0,1]\setminus (a,b) \\ f(x) &\mbox{If }x\in(a,b) \end{array}\right. $$ Tenga en cuenta que $g(x)\geq f(x)$ para todos $x\in [0,1]$ (porque la pregunta especificaba que $f(x)\leq 0$ para todos $x\in [0,1]$ .), entonces tenemos $$0>\int_{a}^{b}f(x)dx =\int_{0}^{1}g(x)dx\geq \int_{0}^{1}f(x)dx.$$