Hatcher ejercicio 2.1.6 (homología Simplicial)

Question

Calcular la homología simplicial grupos de la $\Delta$-complejos obtenidos de $n+1$ $2$-simplices $\Delta_0^2,...,\Delta_n^2$ mediante la identificación de los tres bordes de $\Delta_0^2$ a de un solo filo, y para $i>0$ la identificación de los bordes $[v_0,v_1]$ $[v_1,v_2]$ $\Delta_i^2$ a un solo borde y el borde de la $[v_0, v_2]$ hasta el borde $[v_0, v_1]$ $\Delta_{i-1}^2$.

Mi intento:

Nuestro espacio de $X$ $1$ vértice, $n+1$ bordes y $n+1$ caras.

Tenemos $\partial_0=0$$\partial_1=0$. Así llegamos a la conclusión de que $H_0(X) = \ker \partial_0 / \text{Im} \partial_1 \approx \mathbb{Z}$. También se $H_n(X)$ es trivial para $n>2$.

Ahora vamos a calcular $H_1(X) = \ker \partial_1 / \text{Im} \partial_2$. Vamos a llamar el vértice $v$, los bordes $a_i$ y las caras $U_i$ $(i=0,1,...,n)$. Luego tenemos la $$\partial_2(U_0)= a_0, \qquad \partial_2(U_i) = 2a_i - a_{i-1} \quad (i\neq0).$$

Por lo $\text{Im} \partial_2 = < a_0, 2a_1-a_o,...,2 a_n - a_{n-1}>$.

También desde $\partial_1=0$, $\ker \partial_1 = <a_0,...,a_n> \approx \mathbb{Z}^{n+1}$

Es esto correcto? ¿Cómo podemos calcular el factor de grupo $H_1(X)$ a partir de esto?

Answer 1

Una manera de calcular el factor de grupo sería para ver $\textrm{Im}(\partial_2)$ como el mayor elemento en el siguiente orden ascendente de la cadena:

• $\langle a_0\rangle \subset \langle a_0, 2a_1 - a_0\rangle \subset \langle a_0, 2a_1 - a_0, 2a_2-a_1\rangle \subset \dots \subset \langle a_0, 2a_1 - a_0, \ldots, 2a_n - a_{n-1}\rangle $

Ahora usted puede inductivamente determinar el isomorfismo de la clase (en la clasificación estándar de finitely generado abelian grupos) del cociente $\mathbb{Z}^{n+1} / \langle a_0, 2a_1 - a_0, \ldots, 2a_{i+1} - a_{i}\rangle$$i = 0, 1, \ldots, n-1$. Es claro, por ejemplo, que el $\mathbb{Z}^{n+1}/\langle a_0\rangle \cong \mathbb{Z}^n$. Con suerte, eso es suficiente empezar.