Base y dimensión de el conjunto de todos los $n\times n$ matrices simétricas.

Question

Una $n \times n$ matriz cuadrada $A$ se llama simétrica si $A^T = A$ Mostrar que el conjunto de todos los $n \times n$ matrices simétricas, denotado $S$, es un subespacio de $M_n(\mathbb{R})$. Dar una base para $S$ y determinar $\dim S.$

¿Cómo hace uno para probar cosas acerca de una $n \times n$ de la matriz? Yo no puedo escribir los elementos a mostrar cierre. Puedo ver por qué es cierto, pero no sé cómo demostrarlo.

Simétrica + simétrica definitivamente va a ser simétrica. Ideas, sería muy apreciado.

Answer 1

Para mostrar que $S$ es un subespacio, usted necesita demostrar que

1. $A,B \in S \implies A+B \in S$
2. $A \in S$, $k \in \mathbb{R} \implies kA \in S$.

Si $A,B \in S$,$A^T = A$$B^T = B$. A continuación, $(A+B)^T = A^T+B^T = A+B$, lo $A+B \in S$.

Que demuestra la primera parte sin necesidad de escribir todas las entradas. Puedes hacer la segunda parte ahora?

Para averiguar la dimensión de $S$, aviso que para especificar un elemento $A \in S$, sólo es necesario especificar las entradas en la "mitad superior" de $A$, es decir, $A_{ij}$ tal que $1 \le i \le j \le n$. Cuántas entradas es esto?

Alternativamente, enzotib la respuesta se muestra cómo obtener una base de $S$, por lo que sólo puede contar el número de elementos en la base para obtener la dimensión de la $S$.

Answer 2

Creo que de los más elementales matrices simétricas, hay dos tipos:

1. las matrices con todos los ceros y sólo un $1$ en un elemento de la diagonal
2. las matrices con todos los ceros y sólo dos $1$'s en un lugar fuera de la diagonal término y su simétrica

Por ejemplo, en $M_2$: $$\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ En $M_3$: $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}$$ La próxima, a ver que cada matriz simétrica es una de las combinaciones lineales de estas matrices.
Siguiente, demostrar que son linealmente independientes.