Mostrar que $\int\nolimits^{\infty}_{0} x^{-1} \sin x dx = \frac\pi2$

Question

Mostrar que $\int^{\infty}_{0} x^{-1} \sin x dx = \frac\pi2$ mediante la integración de $z^{-1}e^{iz}$ alrededor de un contorno cerrado $\Gamma$ consta de dos partes del eje real, de -$R$ a -$\epsilon$ e de $\epsilon$ $R$( $R > \epsilon > 0$ ) y dos de conexión semi-arcos circulares en la mitad superior del plano -, de los respectivos radios $\epsilon$$R$. A continuación, vamos a $\epsilon \rightarrow 0$$R \rightarrow \infty$.

[Ref: R. Penrose, El Camino a la Realidad: una guía completa a las leyes del universo (Vintage, 2005): Cap. 7, Prob. [7.5] (p. 129)]

Nota: los Marcados como "No debe tomarse a la ligera", (es decir, muy duro!)

Actualización: corrección: $z^{-1}e^{iz}$ (Ref: http://www.roadsolutions.ox.ac.uk/corrections.html)

Answer 1

Lo que sigue es una prueba de cómo utilizar el contorno de integración para obtener su identidad.

En primer lugar, queremos cambiar a $\sin x$ a $e^{ix}$. Observe que $$\int_{0}^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2i}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{R\rightarrow \infty}\left(\int_{-R}^\epsilon \frac{e^{iz}}{z}dz+\int_{\epsilon}^R \frac{e^{iz}}{z}dz\right).$$ The reason we put int the limit is because the integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}}{z}dz$ does not converge. Now, consider the semi circle or radius $R$ in the upper half plane, and modify it by going around a semi circle of radius $\epsilon<R$ in the upper half plane to avoid the point $0$. Call this countour $\Gamma_{R,\epsilon}$. Also, let $C_\epsilon^+$ denote the semi circle of radius $\epsilon$ in the upper half plane. Then by using Jordans Lemma we can show that $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{R\rightarrow \infty}\left(\int_{-R}^\epsilon \frac{e^{iz}}{z}dz+\int_{\epsilon}^R \frac{e^{iz}}{z}dz\right)=\lim_{R\rightarrow \infty}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\int_{\Gamma_{R,\epsilon}} \frac{e^{iz}}{z}dz-\int_{C_\epsilon^+}\frac{e^{iz}}{z}dz\right).$$ Now, using the residue theorem and the fractional residue theorem we see that the right hand side above equals $\pi i$. Hence $$\int_{0}^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.$$

Espero que ayude,