Esta historia comienza realmente con Einstein papel en el efecto fotoeléctrico. Einstein propuso que para las ondas de luz, $E \propto f$, con una constante de proporcionalidad que eventualmente llegó a ser conocido como $h$. Usando la relación $E = pc$ de la relatividad especial, se puede derivar que el $pc = hf$, y con $\lambda f = c$ obtener $\lambda = \frac{h}{p}$. Recuerde, sin embargo, hasta ahora esto sólo se aplica a la luz. de Broglie de la visión fue el uso de la misma relación para definir la longitud de onda de una partícula en función de su inercia.
Entonces, ¿dónde su derivación ir mal? El paso clave es $v = \lambda f$, que se aplica a una ola, no una partícula. Como Qmechanic dice, la velocidad de la onda no es la misma que la velocidad de las partículas. (El primero es la velocidad de fase y la última es la velocidad de grupo.)
Aunque $\lambda = \frac{h}{p}$ fue originalmente tomada como una suposición, usted puede trabajar hacia atrás (o hacia adelante, dependiendo de su punto de vista) y se derivan de un contexto más general de la teoría cuántica. Por ejemplo, suponga que empieza con la ecuación de Schroedinger en el espacio libre,
$$i\hbar\frac{\partial \Psi(t,x)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(t,x)}{\partial x^2}$$
Las soluciones a esta ecuación toma la forma
$$\Psi(t,x) = \sum_n C_n\exp\biggl(-\frac{i}{\hbar}\bigl(E_nt \pm x\sqrt{2mE_n}\bigr)\biggr) = \sum_n C_n\exp\biggl[-i\biggl(\omega_nt \pm k_nx\biggr)\biggr]$$
Esta es una onda con múltiples componentes individuales, cada uno con la frecuencia angular $$\omega_n = E_n/\hbar$$ and wavenumber $$k_n = \frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}$$ or equivalently, frequency $$f_n = E_n/h$$ and wavelength $$\lambda_n = \frac{h}{\sqrt{2mE_n}}$$ To come up with de Broglie's relation, you need to find an expression for the momentum carried by the wave. This is done using the momentum operator $\hat{p} = -i\manejadores\frac{\partial}{\partial x}$ in $\hat{p}\Psi = p\Psi$. The thing is, it only works for a wavefunction with one component. So if (and only if) all the $C_n$ son cero excepto uno, usted puede obtener
$$p_n = \mp\hbar k_n = \mp\sqrt{2m E_n}$$
y si pones que junto con la definición de $\lambda_n$, consigue $\lambda_n = \frac{h}{p_n}$.
Puede parecer un problema que este procedimiento sólo funciona para un solo componente olas. Está bien, aunque, debido a la ola en realidad no tiene un único bien definido de la longitud de onda de todos modos, a menos que se compone de sólo uno de los componentes. Este es un punto clave: cuando usted habla acerca de la longitud de onda de una partícula, o más precisamente la longitud de onda de la cuestión de la onda asociada a una partícula, se está suponiendo implícitamente que el asunto de onda tiene un único componente de la frecuencia. Generalmente esta es una útil aproximación real de las partículas, pero nunca es exactamente cierto.
