Límite de la probabilidad de medidas

Question

Deje $(\Omega,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad, $\{\mathcal{F}_t\}_{t\in N_0}$ discreto y filtración $\{Q_t\}$ una secuencia de probabilidades equivalente a $P$ que $Q_t|_{\mathcal{F}_{t-1}}=Q_{t-1}|_{\mathcal{F}_{t-1}}$ por cada $t\in N$.

Deje $\mathcal{F}_\infty:=\sigma(\underset{t\in N_0}\cup\mathcal F_t)$.

A continuación, para cada una de las $A\in \underset{t\in N_0}\cup\mathcal F_t$, definimos $Q(A):=\underset{t\rightarrow\infty}\lim Q_t(A)$.

Así que, claramente $Q|_{\mathcal{F}_t}=Q_t|_{\mathcal{F}_t}$.

La pregunta es: ¿en qué condiciones puede $Q$ extenderse a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_\infty$ y definir una medida de probabilidad?

Answer 1

La unión $$\bigcup_{t\in N_0}\mathcal F_t$$ is an algebra (although not necessarily a $\sigma$-álgebra), así que usted puede utilizar el teorema de Carathéodory para establecer la existencia de una única prórroga.

La única cosa que queda por comprobar es si $Q$ es countably aditivo en $$\bigcup_{t\in N_0}\mathcal F_t,$$ that is, whether $$\lim_{t\to\infty}\sum_{k\in\mathbb N}Q_t(A_k)=\sum_{k\in\mathbb N}\lim_{t\to\infty}Q_t(A_k)$$ whenever $$A_k\in\bigcup_{t\in N_0}\mathcal F_t\quad\text{for each $k\in\mathbb N$}$$ and $$\bigcup_{k\in\mathbb N}A_k\in\bigcup_{t\in N_0}\mathcal F_t,$$ y la unión es distinto.