Estoy estudiando análisis real de la Terence Tao libro. En El Ejercicio 1.2.3. (iii) pedir al lector a probar subadditivity de Lebesgue exterior de la medida. Se menciona la prueba debe usar el axioma de elección, Tonelli del teorema de la serie, y epsilon/2**n truco.
La prueba se me ocurrió utilizar sólo del teorema de tonelli, y parecía casi inmediata. Así que probablemente hay algo mal con ella...
dado {En}∞n=1 pone en Rd
m∗(∪∞n=1En)=inf sobre todas las cubiertas de \cup_{n=1}^\infty E_n por una contables conjunto de cuadros de \{B_n\}_{n=1}^\infty
Dado cualquier portada de cada uno de los conjuntos individuales E_n por una secuencia de cuadros de \{B_{n,m}\}_{m=1}^\infty, \cup_{n=1}^\infty E_n \subseteq \cup_{n,m=1}^\infty B_{n,m} lo que es un cover incluido en el infimum arriba
Por lo tanto, \inf \sum_{n=1}^\infty |B_n| \le \inf \sum_{n,m=1}^\infty |B_{n,m}| = \inf \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty |B_{n,m}| = \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)
La desigualdad es debido a que el lado derecho infimum estar en la misma función, pero a través de un conjunto contenida en la considerada por el lado izquierdo infimum.
La primera igualdad es debido a Tonelli del teorema de la serie.
La segunda igualdad es directa a partir de la definición de m^*.