Pregunta acerca de la prueba de Contables subadditivity de Lebesgue exterior medida

Question

Estoy estudiando análisis real de la Terence Tao libro. En El Ejercicio 1.2.3. (iii) pedir al lector a probar subadditivity de Lebesgue exterior de la medida. Se menciona la prueba debe usar el axioma de elección, Tonelli del teorema de la serie, y epsilon/2**n truco.

La prueba se me ocurrió utilizar sólo del teorema de tonelli, y parecía casi inmediata. Así que probablemente hay algo mal con ella...

dado $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ pone en $\mathbb{R}^d$

$m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) = \inf \sum_{n=1}^\infty |B_n|$ sobre todas las cubiertas de $\cup_{n=1}^\infty E_n$ por una contables conjunto de cuadros de $\{B_n\}_{n=1}^\infty$

Dado cualquier portada de cada uno de los conjuntos individuales $E_n$ por una secuencia de cuadros de $\{B_{n,m}\}_{m=1}^\infty$, $\cup_{n=1}^\infty E_n \subseteq \cup_{n,m=1}^\infty B_{n,m}$ lo que es un cover incluido en el infimum arriba

Por lo tanto, $\inf \sum_{n=1}^\infty |B_n| \le \inf \sum_{n,m=1}^\infty |B_{n,m}| = \inf \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty |B_{n,m}| = \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)$

La desigualdad es debido a que el lado derecho infimum estar en la misma función, pero a través de un conjunto contenida en la considerada por el lado izquierdo infimum.

La primera igualdad es debido a Tonelli del teorema de la serie.

La segunda igualdad es directa a partir de la definición de $m^*$.

Answer 1

Creo que en su argumento de $m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) = \inf\sum_{n=1}^\infty |B_n|$, el índice no es muy clara.

Para mostrar $m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)$, es suficiente para mostrar que $m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) + \epsilon$ por cada $\epsilon > 0$.

Deje $\epsilon$ ser dado, para cada una de las $E_n$, definir $\mathcal F_n$ a ser la colección de contables de la colección de cuadros (que significa $\{B_{n,k}\}_{k\in \mathbb{N}} \in \mathcal{F}_n$) tales que

1. $E_n \subset \cup_{k\in \mathbb{N}} B_{n,k}$,
2. $m^*(E_n) + \frac{\epsilon}{2^n} \geq \sum_{k\in \mathbb{N}} |B_{n,k}|$.

Por el Axioma de Elección, tomamos una $\{B_{n,k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ a partir de cada una de las $\mathcal F_n$, vemos que por la construcción de $\cup_{n=1}^\infty E_n \subset \cup_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} B_{n,k}$, luego $$\begin{align} m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) &\leq m^*(\cup_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} B_{n,k})\\ &\leq \sum_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} |B_{n,k}|\\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty |B_{n,k}|\\ &\leq \sum_{n=1}^\infty (m^*(E_n) + \frac{\epsilon}{2^n} )\\ &\leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) + \epsilon \end{align}$$