Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

5 votos

Pregunta acerca de la prueba de Contables subadditivity de Lebesgue exterior medida

Estoy estudiando análisis real de la Terence Tao libro. En El Ejercicio 1.2.3. (iii) pedir al lector a probar subadditivity de Lebesgue exterior de la medida. Se menciona la prueba debe usar el axioma de elección, Tonelli del teorema de la serie, y epsilon/2**n truco.

La prueba se me ocurrió utilizar sólo del teorema de tonelli, y parecía casi inmediata. Así que probablemente hay algo mal con ella...

dado {En}n=1 pone en Rd

m(n=1En)=inf sobre todas las cubiertas de \cup_{n=1}^\infty E_n por una contables conjunto de cuadros de \{B_n\}_{n=1}^\infty

Dado cualquier portada de cada uno de los conjuntos individuales E_n por una secuencia de cuadros de \{B_{n,m}\}_{m=1}^\infty, \cup_{n=1}^\infty E_n \subseteq \cup_{n,m=1}^\infty B_{n,m} lo que es un cover incluido en el infimum arriba

Por lo tanto, \inf \sum_{n=1}^\infty |B_n| \le \inf \sum_{n,m=1}^\infty |B_{n,m}| = \inf \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty |B_{n,m}| = \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)

La desigualdad es debido a que el lado derecho infimum estar en la misma función, pero a través de un conjunto contenida en la considerada por el lado izquierdo infimum.

La primera igualdad es debido a Tonelli del teorema de la serie.

La segunda igualdad es directa a partir de la definición de m^*.

6voto

Brian T. Grant Puntos 129

Creo que en su argumento de m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) = \inf\sum_{n=1}^\infty |B_n|, el índice no es muy clara.

Para mostrar m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n), es suficiente para mostrar que m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) + \epsilon por cada \epsilon > 0.

Deje \epsilon ser dado, para cada una de las E_n, definir \mathcal F_n a ser la colección de contables de la colección de cuadros (que significa \{B_{n,k}\}_{k\in \mathbb{N}} \in \mathcal{F}_n) tales que

  1. E_n \subset \cup_{k\in \mathbb{N}} B_{n,k},
  2. m^*(E_n) + \frac{\epsilon}{2^n} \geq \sum_{k\in \mathbb{N}} |B_{n,k}|.

Por el Axioma de Elección, tomamos una \{B_{n,k}\}_{k\in \mathbb{N}} a partir de cada una de las \mathcal F_n, vemos que por la construcción de \cup_{n=1}^\infty E_n \subset \cup_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} B_{n,k}, luego \begin{align} m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n) &\leq m^*(\cup_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} B_{n,k})\\ &\leq \sum_{(n,k) \in \mathbb{N}^2} |B_{n,k}|\\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty |B_{n,k}|\\ &\leq \sum_{n=1}^\infty (m^*(E_n) + \frac{\epsilon}{2^n} )\\ &\leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) + \epsilon \end{align}

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X