¿Hay alguna salida para este dilema?

Question

En mi libro de texto, para resolver las ecuaciones cúbicas, necesito

1. buscar por ensayo y error lo $f(a)$ hará que la ecuación 0. El factor de se $(x-a)$
2. a continuación, el otro factor será $Ax^2+Bx+C$ entonces se puede resolver utilizando comparar el coeficiente de

Pero para que te primera parte, ¿hay alguna otra forma aparte de trail & error? O es que hay alguna técnica para adivinar el factor de una ecuación?

La pregunta que estoy haciendo actualmente pasa a ser $2x^3+3x+4=9$

ACTUALIZACIÓN: $2x^3+3x+4=9$ debe $2x^3+3x+4=9x^2$

ACTUALIZACIÓN 2

Así que voy a tratar de sustituir

$x=\pm{1}, \pm\frac{1}{2}, \pm{2}, \pm{4}$

Al $x=-\frac{1}{2}$, una de las respuestas proporcionadas,

$2(−0.5)^3−9(−0.5)^2+3(−0.5)+4=-18.75\neq 0$

¿me equivoco?

Answer 1

Por supuesto que hay :-) Una técnica para solucionar cúbicas ha sido conocido desde el siglo 16.

Vamos a empezar con $x^3+ax+b=0$, que es su caso. Veremos más adelante que siempre es posible eliminar el $x^2$ plazo, por lo que este es, de hecho, el único caso que realmente necesita preocuparse.

El truco es hacer que el problema inicialmente más difícil ver por establecimiento $x=p+q$. En lugar de una sola variable ahora tenemos dos; tenemos la esperanza de que el extra de libertad para ganar algo, y vamos.

Sustituyendo, obtenemos

$(p+q)^3+a(p+q)+b=0$

o

$p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+a(p+q)+b=0$

y ahora observamos que $3p^2q+3pq^2$ puede ser reordenado:

$p^3+q^3+3pq(p+q)+a(p+q)+b=0$

y por último, se observa que los dos términos con un común $p+q$:

$p^3+q^3+(3pq+a)(p+q)=0$.

Esto parece tan malo como donde empezamos - sin embargo, tenemos un grado adicional de libertad: se puede forzar a $3pq+a$ a 0. Si hacemos eso, mediante el establecimiento $q = -\frac{a}{3p}$, obtenemos

$p^3 - \frac{a^3}{27p^3} + b = 0$

y estamos básicamente hacer: cambiar el nombre de $p^3$$z$, esta es una ecuación de segundo grado en $z$. Resolver, determinar el $p$, calcular el $q$, y la solución a la ecuación original es $x=p+q$ (por supuesto, podría haber varias soluciones).

Todo esto puede ser reformulado explícita de las ecuaciones para la solución, pero nunca me acuerdo de aquellos; la única manera en que puedo recordar que esto es por el recuerdo de la $x=p+q$ truco.

Por último, si usted tiene

$x^3+ax^2+bx+c=0$

usted puede hacer un simple cambio lineal de variables $x=y+r$, por esto se convierte en

$y^3+(3r+a)y^2+\ldots=0$

lo que la elección de $r = -a/3$ $y^2$ plazo desaparecer. Resolver para $y$ como antes y recordar el cambio de $x=y-a/3$ para obtener la solución de la ecuación original.

Answer 2

Creo que el "ensayo y error" es probablemente refiriéndose a las Raíces Racionales de Prueba. Para usarlo, intente de todas las fracciones de la forma $\pm \frac{p}{q}$ donde $p$ es un factor del término constante y $q$ es un factor de término del grado más alto.

En tu ejemplo, podemos evaluar cada uno de los siguientes en la función y ver si alguno de ellos son las raíces: $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}, \pm\frac{4}{1}, \pm \frac{4}{2}$. (Varios de estos son redundantes, pero voy a incluirlos sólo así podrás ver cómo la lista está formada.)

Tenga en cuenta que la gran mayoría de los números de esta lista no son las raíces. Todas las Raíces Racionales de Prueba de los reclamos es que si hay una raíz racional de su función, a continuación, aparecerá en algún lugar de la lista. La mayoría de los números en la lista no son las raíces, sin embargo.

Answer 3

Sí, la hay, pero no va a ser de mucha utilidad en un examen:

Dada la ecuación cúbica:

Para el general cúbicos ecuación (1) con coeficientes reales, el general la fórmula para hallar las raíces, en términos de los coeficientes, es como sigue si $(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d)^2-4 (b^2-3 a c)^3=-27 a^2 \Delta>0$, es decir, si hay dos raíces reales:

Sin embargo, esta fórmula está mal si el operando de la raíz cuadrada es negativo, o si los coeficientes pertenecen a un ámbito que no es contenida en el campo de los números reales: Cuando este operando es real y positivo, el cúbicos raíces son reales y bien definido. En el otro caso, la raíz cuadrada no es real y uno tiene que elegir, de una vez por todas una determinación de que, por ejemplo, el uno con el positivo imaginario parte. Para la extracción de la raíz cubica también tenemos que elegir una la determinación de la raíz cubica, y esto le da nueve posibles valores para la primera raíz de una ecuación que sólo tiene tres raíces.

Una solución puede ser obtenida por recalcando que la prueba de fórmula anterior muestra que el producto de las dos raíces cúbicas racional. Esto le da la siguiente fórmula en la que $\sqrt{ }$ o $\sqrt[3]{ }$ soporte para cualquier determinación de la plaza o la raíz cúbica, si $b^2-3ac \mbox{ } \neq \mbox{ } 0$.

Si $Q \mbox{ } \neq \mbox{ } 0$$b^2 − 3ac = 0$, el signo de Q tiene a ser elegido para tener $C \mbox{ } \neq \mbox{ } 0$.

Si $Q = 0$$b^2 − 3ac = 0$, las tres raíces son iguales:

$$x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3a}$$ .

Si $Q = 0$$b^2-3ac \mbox{ } \neq \mbox{ } 0$, por encima de expresión para las raíces es correcto, pero engañosa, ocultando el hecho de que no radical es necesario para representar las raíces. De hecho, en este caso, no es un el doble de la raíz

$$x_1=x_2=\frac{bc-9ad}{2(3ac-b^2)}$$ .

y una raíz simple de

$$x_3=\frac{9a^2d-4abc+b^3}{a(3ac-b^2)}$$ .

(continuación)

fuente: Wikipedia