Demostrar por inducción que $n^3 + 11n$ es divisible por $6$ para cada número entero positivo $n$ .

Question

Demostrar por inducción que $n^3 + 11n$ es divisible por $6$ para cada número entero positivo $n$ .

He empezado por dejar que $P(n) = n^3+11n$

$P(1)=12$ (divisible por 6, por lo que $P(1)$ es cierto).

Supongamos que $P(k)=k^3+11k$ es divisible por 6.

$P(k+1)=(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=(k^3+11k)+(3k^2+3k+12)$

Desde $P(k)$ es cierto, $(k^3+11k)$ es divisible por 6 pero no puedo demostrar que $(3k^2+3k+12)$ es divisible por 6

Answer 1

Para cualquier número entero positivo $n$ , dejemos que $S(n)$ denota el enunciado $$ S(n) : 6\mid (n^3+11n). $$

Paso básico: Para $n=1, S(1)$ da $1^3+11(1) = 12 = 2\cdot 6$ . Así, $S(1)$ se mantiene.

Paso inductivo: Dejemos que $k\geq 1$ sea fija, y supongamos que $S(k)$ se mantiene; en particular, dejemos que $\ell$ sea un número entero con $6\ell = k^3+11k$ . Entonces \begin{align} (k+1)^3 + 11(k+1) &= (k^3+3k^2+3k+1) + (11k+11)\tag{expand}\\[0.5em] &= \color{red}{k^3+11k}+3k^2+3k+12\tag{rearrange}\\[0.5em] &= \color{red}{6\ell} + 3k(k+1)+2\cdot 6.\tag{by ind. hyp.} \end{align} Dado que uno de los $k$ y $k+1$ es par, el término $3k(k+1)$ es divisible por $6$ por lo que la última expresión anterior es divisible por $6$ . Esto demuestra $S(k+1)$ y concluye el paso inductivo $S(k)\to S(k+1)$ .

Por inducción matemática, para cada $n\geq 1$ La declaración $S(n)$ es cierto. $\blacksquare$

Answer 2

$$3k^2 + 3k + 12=3(k^2 + k +4)= 3(k(k+1)+4)$$

¿Puedes ver por qué $k(k+1)$ y $4$ son cada uno divisible por $2$ ?

Al menos uno de $k, k+1$ es uniforme, al igual que $4$ Por lo tanto $2$ divide $(k(k+1)+4)$ y con tres como factor de $\color{blue}{3}(k(k+1)+ 4)$ tenemos $$2\cdot 3 = 6\mid (3k^2 + 3k + 12).$$

Answer 3

Primero, demuestre que esto es cierto para $n=1$ :

$1^3+11=6\cdot2$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

$n^3+11n=6k$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$ :

$(n+1)^3+11(n+1)=$

$n^3+3n^2+14n+12=$

$\color{red}{n^3+11n}+3n^2+3n+12=$

$\color{red}{6k}+3n^2+3n+12=$

$6k+3n(n+1)+12=$

• $2 |n\implies6|3n \implies6|3n(n+1)\implies3n(n+1)=6m$
• $2\not|n\implies2|n+1\implies6|3n(n+1)\implies3n(n+1)=6m$

$6k+6m+12=$

$6(k+m+2)$

Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.

---

Como alternativa, considere las siguientes opciones:

• $n\equiv0\pmod6 \implies n^3+11n\equiv 0+ 0\equiv6\cdot 0\equiv0\pmod6$
• $n\equiv1\pmod6 \implies n^3+11n\equiv 1+11\equiv6\cdot 2\equiv0\pmod6$
• $n\equiv2\pmod6 \implies n^3+11n\equiv 8+22\equiv6\cdot 5\equiv0\pmod6$
• $n\equiv3\pmod6 \implies n^3+11n\equiv 27+33\equiv6\cdot10\equiv0\pmod6$
• $n\equiv4\pmod6 \implies n^3+11n\equiv 64+44\equiv6\cdot18\equiv0\pmod6$
• $n\equiv5\pmod6 \implies n^3+11n\equiv125+55\equiv6\cdot30\equiv0\pmod6$

Answer 4

Desde $n^{3} + 11n = 6m$ para algún número entero $m,$ tenemos $$(n+1)^{3} + 11(n+1) = 6m + 3n^{2} + 3n + 12 = 6m + 12 + 3(n^{2} + n).$$ Basta con demostrar que $3(n^{2} + n)$ es un múltiplo de $6$ . Pero, ya que si $n$ es impar entonces $n^{2} + n = 2m'$ para algún número entero $m'$ y si $n$ es incluso entonces por supuesto $n^{2} + n = 2m''$ para algún número entero $m'',$ se deduce que $6$ es efectivamente un múltiplo de $3(n^{2}+n),$ qed.

Answer 5

Quiero dar una prueba directa:

$n^3+11n=(n-1)n(n+1)+12n$

Nota: un producto de tres enteros consecutivos tiene que ser divisible por 6.