La Media geométrica del límite de $\ell_p$ norma de sumas

Question

Mi análisis el profesor presentó el $\ell_p$ norma para nuestra clase como: \begin{align} \| x \|_p = \left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} |x_j|^p\right)^{1/p}. \end{align}

Se pide demostrar la siguiente: \begin{align} \lim_{p \to 0} \|x\|_p &= \left( \prod_{j=1}^{n} |x_j| \right)^{1/n}, \end{align}

Puede alguien darme una especie de "intuición" en cuanto a por qué esto es cierto, y una sugerencia en cuanto a cómo abordar el problema? Todo el material de lectura venir a través de usos de la teoría de la medida e integrales en lugar de sumas así no puedo seguir.

En otra nota, ¿hay alguna manera de mejorar la intuición matemática? Parece que cada prueba en la clase se basa en la poca de matemáticas "trucos", que me parece frustrante, porque yo no sé ni por dónde empezar para los problemas que se nos asignan. (Me parece que no es en absoluto lo mismo en mi Álgebra o de la Probabilidad de las clases)

Gracias!

Answer 1

Considere lo siguiente: $$ \begin{align} f(p)=\| x \|_p = \left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} |x_j|^p\right)^{1/p} \end{align} $$ Es bien sabido que $f(p)$ $p>0$ es creciente en función de $p$. Para $p<q$: $$ f(p)=\| x \|_p = \left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} |x_j|^p\right)^{1/p}\leq f(q)=\| x \|_q = \left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} |x_j|^q\ \ derecho)^{1/q} $$ Así se tiende $p$ cero, es de esperar que tenemos una función que es independiente de la $p$ y es menor o igual que $f(p)$ todos los $p>0$. Un particular puede ser candidato a la media geométrica debido a que el uso aritmético-geométrica de la desigualdad tenemos para todos los $p>0$: $$ f(p)=\| x \|_p = \left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} |x_j|^p\right)^{1/p}\geq \left( \prod_{j=1}^{n} |x_j|^p \right)^{1/pn}=\left( \prod_{j=1}^{n} |x_j| \right)^{1/n}. $$ Para probar este límite, como se sugiere en uno de los comentarios, se puede calcular el límite de $\log f(p)$ $p\to 0$ y el uso del Hospital de la regla.

Answer 2

Asuma que todas las $x_j\ne0$, cuando $p\to0$, $|x_j|^p\to1$ para cada una de las $j$ por lo tanto $\|x\|_p^p=\frac1n\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p\to1$. Asumiendo temporalmente que $$ |x_j|^p=1+py_j+o(p) $$ para cada $j$ rendimientos $\|x\|_p^p=1+py+o(p)$$y=\frac1n\sum\limits_{j=1}^ny_j$. Utilizando el hecho de que $(1+py)^{1/p}\to\mathrm e^y$, uno obtendría $\|x\|_p\to\mathrm e^y=\left(\prod\limits_{j=1}^n\mathrm e^{y_j}\right)^{1/n}$. Ahora, $|x_j|^p=\exp(p\log|x_j|)=1+py_j+o(p)$ $y_j=\log|x_j|$ por lo tanto, de hecho, la asunción por encima de los sostiene y los $\mathrm e^y=\left(\prod\limits_{j=1}^n|x_j|\right)^{1/n}$.

Si al menos uno de los $x_j$ es cero, reemplazar cada una de las $x_j=0$ positivos $\varepsilon$ y usar lo anterior para mostrar que $\limsup\limits_{p\to0}\|x\|_p\left(\prod\limits_{j=1}^nu_j^\varepsilon\right)^{1/n}$ donde $u_j^\varepsilon=\varepsilon$ si $x_j=0$ $u_j^\varepsilon=|x_j|$ lo contrario. A continuación, vamos a $\varepsilon\to0$.