continuamente diferencial parametrización de una superficie complicado

Question

Estoy buscando continuamente diferenciable parametrización de $$x^3+y^2-z^2=1$$ pero en realidad estoy totalmente atascado. Si el $x$ plazo se cuadrática en lugar de cúbicos, sería sencillo: $$(x,y,z)=(\sqrt{t^2+1}\cos\theta, \sqrt{t^2+1}\sin\theta, t)$$ Pero con el cúbicos plazo, estoy atascado. Yo, naturalmente, el pensamiento acerca de la $$(x,y,z)=(\sqrt[3]{t^2+1}\cos^{\frac{2}{3}}\theta, \sqrt{t^2+1}\sin\theta, t)$$ pero esto no es continuamente diferenciable en a $\theta$.

Consejos o sugerencias?

Answer 1

Se nos da la función de $f(x,y,z):=x^3+y^2-z^2-1$ y tener en cuenta el conjunto de soluciones de (una "superficie") $$S:=\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3\ |\ f(x,y,z)=0\}\ .$$ Como $\nabla f(x,y,z)=(3x^2,2y,-2z)$ $\ =(0,0,0)$ sólo en el origen $O\notin S$, por el teorema de la función implícita en el conjunto de $S$ es una superficie lisa en el barrio de todos sus puntos. Aquí está una foto de $S$:

Por $y$ $z$ la ecuación de $f(x,y,z)=0$ tiene exactamente una solución de $x=\phi(y,z)\in{\mathbb R}$ que es comúnmente escrito como $\phi(y,z)=\root 3\of {1-y^2+z^2}$. Por desgracia, a lo largo de la hipérbola $y^2-z^2=1$ la función de $\phi$ no es diferenciable como una función de la $y$$z$.

Si se nos permite utilizar más de un parche para cubrir todos los de $S$ podríamos utilizar tres parches de la siguiente manera: $$(x,t)\mapsto\bigl(x,-\sqrt{1-x^3}\cosh t,\sqrt{1-x^3}\sinh t\bigr)\qquad(-\infty<x<1, \ -\infty<t<\infty)\ ,$$ $$(x,t)\mapsto\bigl(x,\sqrt{1-x^3}\cosh t,\sqrt{1-x^3}\sinh t\bigr)\qquad(-\infty<x<1, \ -\infty<t<\infty)\ ,$$ $$(y,z)\mapsto\bigl(\root 3\of{1-y^2+z^2}, y, z\bigr)\qquad\bigl(-\infty<z<\infty,\ |y|<\sqrt{1+z^2}\bigr)\ .$$

Answer 2

Has mirado por un polinomio de parametrización, con la x de una ecuación cuadrática en t, y y, z se cúbicas?

O más simple aún,

$x^3 + y^2 - z^2 = 1$

<=> $1 - x^3 = y^2 - z^2$

<=> $(1 - x)(1 + x + x^2) = (y - z)(y + z)$.

Si asumimos $1 - x = y - z$ $1 + x + x^2 = y + z$ usted puede conseguir una simple parametrización mediante la resolución de las ecuaciones simultáneas para$y$$z$.