Dejar que la Mentira de álgebra ser $\mathfrak{g}:=\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ atravesado por $\{h,x,y\}$ con $[x,y]=h$, $[h,x]=+2x$, y $[h,y]=-2y$. La categoría de $\mathcal{O}$ $\mathfrak{g}$ se define con respecto a la Borel subalgebra $\mathfrak{b}:=\mathbb{C}h\oplus \mathbb{C}x$ y con el Cartan subalgebra $\mathfrak{h}:=\mathbb{C}h$. Identificar las $\mathfrak{h}^*$ $\mathbb{C}$ través $\lambda\mapsto \lambda(h)$ por cada $\lambda\in\mathfrak{h}^*$.
Considerar la Verma módulo de $\mathfrak{M}(-1)$. Es simple (es decir, $\mathfrak{M}(-1)\cong\mathfrak{L}(-1)\cong \mathfrak{M}^\vee(-1)$). Tensoring $\mathfrak{M}(0)$ (que es un módulo proyectivo como $0$ es un dominante de peso) con el $2$-dimensional simple módulo de $\mathfrak{L}(1)$ los rendimientos de la cubierta proyectiva $\mathfrak{P}(-1)$$\mathfrak{L}(-1)\cong\mathfrak{M}(-1)$. Es decir, tenemos una breve secuencia exacta
$$0\to \mathfrak{M}(1) \to \mathfrak{P}(-1) \to \mathfrak{M}(-1)\to 0\,,$$
que no divide. Tomando la dualidad de esta secuencia exacta y observando que $\mathfrak{M}(-1)\cong \mathfrak{M}^\vee(-1)$, obtenemos la no división de la secuencia exacta
$$0\to \mathfrak{M}(-1) \to \mathfrak{I}(-1) \to \mathfrak{M}^\vee(1)\to 0\,,$$
donde $\mathfrak{I}(-1)=\mathfrak{P}^\vee(-1)$ es inyectiva casco de $\mathfrak{M}(-1)$.
