Integral de convolución $\int_0^t \cos(t-s)\sin(s)\ ds$

Question

¿Cómo puedo calcular la siguiente integral?

$$\int_0^t \cos(t-s)\sin(s)\ ds$$

Yo no puedo obtener la integral por cualquier sustituciones, tal vez es fácil, pero no puedo conseguirlo.

Answer 1

Vamos $$ \mathcal{I}=\int_0^t \cos(t-s)\sin(s)\ ds,\tag1 $$ a continuación, utilizando la propiedad $$ \int_b^a f(x)\ dx=\int_b^a f(a+b-x)\ dx, $$ tenemos $$ \mathcal{I}=\int_0^t \cos(s)\sin(t-s)\ ds.\tag2 $$ La adición de $(1)$$(2)$, obtenemos \begin{align} 2\mathcal{I}&=\int_0^t [\cos(t-s)\sin(s)+\cos(s)\sin(t-s)]\ ds\\ &=\int_0^t \sin(s+t-s)\ ds\\ &=\int_0^t \sin (t)\ ds\\ &=\sin(t)\int_0^t\ ds\\ \mathcal{I}&=\large\color{blue}{\frac{1}{2}t\sin (t)}. \end{align}

Answer 2

Así, se puede utilizar la fórmula $$\cos\phi\sin\psi=\frac{\sin(\phi+\psi)-\sin(\phi-\psi)}2,$$ which should make things easier, since then $$\cos(t-s)\sin s=\frac12(\sin t-\sin(t-2s)=\frac12\sin t+\frac12\sin(2s-t).$$ En ese punto, usted puede dividir la integral en dos partes a evaluar por separado.

Answer 3

Sugerencia: $\cos(t-s)=\cos t\cos s+\sin t\sin s$, por lo que el integrando se convierte en $$\cos(t-s)\sin(s)=\cos t\cos s\sin s+\sin t\sin s \sin s=\left(\frac{1}{2}\cos t\right)\sin 2s+\sin t \sin^2 s$$

Usted debe ser capaz de integrar este.

Answer 4

Si expande la $\cos $ función, usted consigue las dos integrales, una es de la forma $$ \int \cos s \pecado s ds =-\int \cos s d (\cos s) $$ y el otro es $$ \int \sin^2 s ds = \int \frac{1- \cos 2 s ds}{2} $$

que son muy simples