Hay una prueba de que $\pi$ es un número irracional?

Question

La mayoría de los libros de texto de matemáticas afirmación de que $\pi$ es un número irracional. Sin embargo, estoy teniendo un poco de problemas para entender eso.

Ya que nadie ha calculado todos los dígitos de $\pi$, ¿cómo podemos saber que:

• uno de los dígitos repeticiones (en $\frac{10}{3}$)
• el número eventualmente termina

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Nota: por Favor ser muy descriptivos en sus respuestas... yo no tengo nada más allá de la escuela secundaria de matemáticas.

Answer 1

Si sabes un poco de cálculo y han llegado a través de la inducción, entonces aquí es un esquema de un ejercicio estándar (ver Burkill - Un primer Curso de Análisis) para demostrar $\pi$ irracional.

Vamos

$$I_n(\alpha)=\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \cos \alpha x \textrm{ d}x$$

luego de integrar por partes para mostrar que para $n \ge 2$

$$\alpha^2 I_n = 2n(2n-1)I_{n-1}-4n(n-1)I_{n-2}.$$

El uso de la inducción para demostrar que para un entero positivo $n$ hemos

$$\alpha^{2n+1}I_n(\alpha)=n!(P(\alpha) \sin \alpha + Q(\alpha) \cos \alpha),$$

donde $P(\alpha)$ $Q(\alpha)$ son polinomios de grado menor que $2n+1$ $\alpha$ con coeficientes enteros.

Mostrar que si $\pi/2 = b/a,$ donde $a$ $b$ son enteros, entonces

$$\frac{b^{2n+1}I_n(\pi/2)}{n!} \quad (1)$$

sería un entero.

Tenga en cuenta que

$$I_n(\pi/2) < \int_{-1}^1 (1-x^2)^n \textrm{ d}x < 2 \textrm{ y } \frac{b^{2n+1}}{n!} \rightarrow 0 \textrm{ como } n \rightarrow \infty$$

lo que resulta en contradicción ya que el $(1)$ se supone que ser un número entero, pero podemos demostrar que es tan pequeño como uno desea.

Esta fue la primera prueba de la irracionalidad de la $\pi$ que me encontré, y creo que es muy accesible para aquellos que estén dispuestos a darle una oportunidad.

Answer 2

Hay un buen número de pruebas en la Wikipedia. No está seguro de cómo accesibles encontrará, sin embargo -- siéntase libre de preguntar acerca de uno de ellos que usted podría ser capaz de entender.