La mayoría de los libros de texto de matemáticas afirmación de que $\pi$ es un número irracional. Sin embargo, estoy teniendo un poco de problemas para entender eso.
Ya que nadie ha calculado todos los dígitos de $\pi$, ¿cómo podemos saber que:
Nota: por Favor ser muy descriptivos en sus respuestas... yo no tengo nada más allá de la escuela secundaria de matemáticas.
Si sabes un poco de cálculo y han llegado a través de la inducción, entonces aquí es un esquema de un ejercicio estándar (ver Burkill - Un primer Curso de Análisis) para demostrar $\pi$ irracional.
Vamos
$$I_n(\alpha)=\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \cos \alpha x \textrm{ d}x$$
luego de integrar por partes para mostrar que para $n \ge 2$
$$\alpha^2 I_n = 2n(2n-1)I_{n-1}-4n(n-1)I_{n-2}.$$
El uso de la inducción para demostrar que para un entero positivo $n$ hemos
$$\alpha^{2n+1}I_n(\alpha)=n!(P(\alpha) \sin \alpha + Q(\alpha) \cos \alpha),$$
donde $P(\alpha)$ $Q(\alpha)$ son polinomios de grado menor que $2n+1$ $\alpha$ con coeficientes enteros.
Mostrar que si $\pi/2 = b/a,$ donde $a$ $b$ son enteros, entonces
$$\frac{b^{2n+1}I_n(\pi/2)}{n!} \quad (1)$$
sería un entero.
Tenga en cuenta que
$$I_n(\pi/2) < \int_{-1}^1 (1-x^2)^n \textrm{ d}x < 2 \textrm{ y } \frac{b^{2n+1}}{n!} \rightarrow 0 \textrm{ como } n \rightarrow \infty$$
lo que resulta en contradicción ya que el $(1)$ se supone que ser un número entero, pero podemos demostrar que es tan pequeño como uno desea.
Esta fue la primera prueba de la irracionalidad de la $\pi$ que me encontré, y creo que es muy accesible para aquellos que estén dispuestos a darle una oportunidad.
Hay un buen número de pruebas en la Wikipedia. No está seguro de cómo accesibles encontrará, sin embargo -- siéntase libre de preguntar acerca de uno de ellos que usted podría ser capaz de entender.
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