¿Cuál es la probabilidad de sacar un 1 en la Catenative Doomsday Dados Cascader?

Question

Como se ve aquí. Se supone que cada cascader burbuja comienza con un d6, como opuesto a estar determinado por la primer burbuja junto con el número de cascader burbujas, la escena se hace ambigua.

$\frac{1}{36} = 0.02777...$ proporciona un simple límite inferior para la probabilidad (1 en la primer burbuja y el único cascader de la burbuja). Si la primer burbuja saca un 2, las probabilidades son de $\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{24}+\frac{1}{30}+\frac{1}{36}\right) = \frac{49}{720} = 0.0680555...$; múltiples por el 1/6 oportunidad de rodar que 2 y añadir a la original 1/36, y usted consigue $0.02\bar{7}+0.01134\overline{259} = 0.03912\overline{037}$. Después de eso, se obtiene de manera más allá de mí.

Answer 1

Supongamos que el primer burbuja rollos de una $n$. A continuación, el cascader burbuja rollos se $\{r_1, r_2, ... r_{n-1},1\}$ con una probabilidad de $$ \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6r_1}\cdot\frac{1}{6r_1r_2}\cdots\frac{1}{6r_1r_2\cdots r_{n-1}}=\frac{1}{6^n r_1^{n-1} r_2^{n-2} \cdots r_{n-1}} $$ para cualquier $r_1\in[6]=\{1,2,3,4,5,6\}$, $r_2\in[6r_1]$, $r_3\in[6r_1r_2]$, etc., hasta el $r_{n-1}\in[6r_1r_2\cdots r_{n-2}]$. El total de la probabilidad es entonces $$ p_{n}=\frac{1}{6^n}\sum_{r_1=1}^{6}\frac{1}{r_1^{n-1}}\sum_{r_2=1}^{6r_1}\frac{1}{r_2^{n-2}}\cdots\sum_{r_{n-1}=1}^{6r_1r_2\cdots r_{n-2}}\frac{1}{r_{n-1}}. $$ En particular, $$ \begin{eqnarray} p_1&=&\frac{1}{6}=0.166666... \\ p_2&=&\frac{1}{36}\sum_{r_1=1}^{6}\frac{1}{r_1}=\frac{1}{36}H_{6}=\frac{49}{720}=0.06805555... \\ p_3&=&\frac{1}{216}\sum_{r_1=1}^{6}\frac{1}{r_1^2}\sum_{r_2=1}^{6r_1}\frac{1}{r_2} \\ &=&\frac{1}{216}\left(H_{6}+\frac{1}{4}H_{12}+\frac{1}{9}H_{18}+\frac{1}{16}H_{24}+\frac{1}{25}H_{30}+\frac{1}{36}H_{36}\right) \\ &=&\frac{97493779762855253}{5104009215002880000}=0.01910141... \end{eqnarray} $$ El uso de estos tres primeros términos da el límite inferior $(p_1+p_2+p_3)/6 = 0.04230...$.