Integral doble: $\int_{y=0}^1\int_{x=y}^1 e^{\large x^2}\ dx\ dy$

Question

Podría alguien que me ayude con esta pregunta? Estoy atrapado en él.

Calcular la siguiente integral doble: $$\int_{y=0}^1\int_{x=y}^1 e^{\large x^2}\ dx\ dy.$$

Cómo calcular la integral cuando el interior de la integral es una forma de la función de error? Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La región de integración $y<x<1$ $0<y<1$ es la que corresponde a $0<y<x$$0<x<1$, por lo tanto $$ \int_{y=0}^1\int_{x=y}^1\ e^{\x^2}\, dx\ dy=\int_{x=0}^1\int_{y=0}^x\ e^{\x^2}\ dy\ dx=\int_{x=0}^1\ e^{\x^2}\, dx\ \int_{y=0}^x\ \ dy. $$ La última integral es fácil ser ha versado sobre y la respuesta es $\color{blue}{\dfrac12(e-1)}$.

Answer 2

Otra manera difícil (Como el OP desea):

El uso de la serie de Maclaurin de la función exponencial, obtenemos $$ e^{\x^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n}}{n!}. $$ Por lo tanto $$ \begin{align} \int_{x=y}^1\ e^{\large x^2}\ dx&=\int_{x=y}^1\ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n}}{n!}\ dx\\ &=\sum_{n=0}^\infty\int_{x=y}^1\ \frac{x^{\large 2n}}{n!}\ dx\\ &=\left.\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n+1}}{(2n+1)\ n!}\right|_{x=y}^1\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1-y^{\large 2n+1}}{(2n+1)\ n!} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \require{cancel} \int_{y=0}^1\ \sum_{n=0}^\infty\frac{1-y^{\large 2n+1}}{(2n+1)\ n!}\ dy&=\sum_{n=0}^\infty\int_{y=0}^1\ \frac{1-y^{\large 2n+1}}{(2n+1)\ n!}\ dy\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left.\left(\frac{y}{(2n+1)\ n!}-\frac{y^{\large 2n+2}}{(2n+2)(2n+1)\ n!}\right)\right|_{y=0}^1\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{(2n+1)\ n!}-\frac{1}{(2n+2)(2n+1)\ n!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n+2)-1}{(2n+2)(2n+1)\ n!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{\cancel{2n+1}}{2(n+1)\cancel{(2n+1)}\ n!}\\ &=\frac12\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\\ &=\large\color{blue}{\frac12(e-1)}. \end{align} $$