¿Está la clase de posets contables bien ordenada por la incrustación?

Question

La pregunta está en el título. Aquí " $P$ se incrusta en $Q$ " significa que hay una función $f : P\to Q$ tal que para todo $p,p'\in P$ , $p \le_P p'$ si y sólo si $f(p) \le_Q f(p')$ . A bien cuasi-orden $W$ es una relación reflexiva y transitiva, tal que para cualquier secuencia infinita $w_1,w_2,\ldots,w_n,\ldots$ tomada del universo de $W$ Hay algunos $n < m$ tal que $w_n \le_W w_m$ .

Mi pregunta está motivada por este otra pregunta reciente. Laver demostró que el contable lineal órdenes forman un wqo bajo la incrustación. Si esto es válido de forma más general para los órdenes contables parcial órdenes, entonces eso implicaría que el $\bar{\mathcal{O}}$ de la pregunta anterior no tiene una cadena descendente infinita ni una anticadena infinita.

Answer 1

La clase de órdenes parciales contables cuasi-ordenados por incrustación no está bien cuasi-ordenada. He aquí un ejemplo sencillo de una anticadena infinita tomado de M. Pouzet, Aplicaciones de la cuasi-ordenación de pozos y de la mejor cuasi-ordenación , en Gráficos y orden (1985), el " coronas ":

Hasta donde yo sé, en la literatura, la clase más grande de órdenes parciales contables que se conoce como wqo (de hecho, bqo, por supuesto) bajo incrustación es la clase de $N$ -sin órdenes parciales, es decir aquellos órdenes parciales en los que

no se incrusta. Esto fue demostrado por S. Thomassé en Sobre los órdenes contables serie-paralelo mejor ordenados , Trans. Amer. Math. Soc., 352 (2000), 2491--2505.