Por qué complejizan con el fin de construir Dirac representación?

Question

Supongamos que tenemos una teoría es covariante bajo el Spin grupo de Spin(2n-1; 1). Consideramos el espacio vectorial real $V = R^{2n-1,1}$, lo que, naturalmente, viene con un Lorenz interior del producto. En este espacio vectorial se introduce una base ortonormales $e_0; e_1; ... ; e_{2n-1}$ donde $e _0$ indica el tiempo en que dirección.

Para la construcción de la Dirac representación de Giro(2n-1; 1) tomamos el complexified espacio de $T = \mathbb{C} <e_1; ... ; e_n>$. Mi pregunta es ¿por qué es que para construir la Dirac representación que complejizar el espacio?

NOTA: la Teoría es aún dimensional y de Lorenz de la firma.

Answer 1

Suponemos que el OP pregunta aparte de los hechos de que:

1. Dirac representaciones, por definición, son complejos;

2. Es mucho más fácil trabajar con un algebraicamente cerrado de campo;

3. Cualquier representación real puede ser extendida a una (posiblemente reducible) representación compleja, por lo que uno es no falta nada por ir complejo.

En otras palabras, OP está interesado en saber por qué ciertos bienes Mentira grupo de representaciones no puede existir. Ya que es bien sabido que cada Mentira grupo de representación induce una correspondiente Mentira álgebra de la representación, es suficiente para nuestro propósito de mostrar que ciertos bienes Mentira álgebra representaciones no puede existir.

Así que estamos interesados en saber si existe una $2^{[\frac{n}{2}]}$-dimensional$^1$ real spinor representación de $so(p,q)$ donde $n=p+q\geq 2$?

Una baja dimensión donde esta falla es $(p,q)=(3,0)$, es decir, en 3D rotaciones, donde dejamos como ejercicio para el lector comprobar que el 1-dimensional pseudoreal/quaternionic spinor representación de la Mentira álgebra $so(3)\cong su(2)\cong u(1,\mathbb{H})$ no tiene real 2-dimensional irreductible subrepresentation.

OP sólo se pregunta acerca de la dimensión $n$ con Minkowski de la firma. De una manera similar puede mostrar que $(p,q)=(5,1)$ falla, yo.e que la suma directa de las 2 dimensiones de la izquierda y el 2-dimensional derecho pseudoreal/quaternionic Weyl spinor representaciones de la Mentira álgebra $so(5,1)\cong sl(2,\mathbb{H})$ no tiene real 8-dimensiones irreductibles subrepresentation.

Por cierto, Witten recientemente discutido real, pseudoreal y complejas representaciones de fermiones en arXiv:1508.04715.

--

$^1$ Entender que la dimensión de $2^{[\frac{n}{2}]}$ proviene de, véase, por ejemplo, este Phys.SE post.