Deje $V$ ser un conjunto. $f: V \rightarrow V$ dijo ser caótico en $V$ si
1) $f$ tiene dependencia sensible en la condición inicial, es decir no existe $\delta>0$ tal que, para cualquier $x\in V$ y cualquier vecindario $N$ $x$ existe $y\in N$ $n\geq 0$ tal que $|f^{n}(x)-f^{n}(y)|>\delta$.
2) $f$ es topológicamente transitivo, es decir, para todo par de abiertos conjuntos de $J,I\subset V$ existe $k>0$ tal que $f^{k}(J)\cap I\neq 0$.
3) periódico puntos son densos en $V$.
Ahora, vamos a $f:A\rightarrow A$ $g:B\rightarrow B$ dos mapas. $f$ $g$ son topológicamente conjugadas que existe una homeomorphism $h:A\rightarrow B$ de manera tal que, $h\circ f=g \circ h$. Asignaciones que son topológicamente conjugadas son completamente equivalentes en términos de su dinámica.
A partir de "Una Introducción al Caótico Sistema Dinámico" de R. L. Devaney sé que $f: S^{1} \rightarrow S^{1}$ $f(\theta)=2 \theta$ es caótico ($S^1$ denotar el círculo unidad en el plano). Porque: la distancia angular entre los dos puntos se duplica en la iteración de $f$. Por lo tanto $f$ es sensible a la condición inicial. Topológicamente transitivo también se desprende de esta observación, ya que cualquier pequeño arco en $S^1$ es eventualmente se expandió por algunos $f^k$ para cubrir todos los de $S^1$. Un punto en $S^1$ está determinado por el ángulo de la forma $\theta+2k\pi$ (en radianes) para un entero $k$. Ahora$f^n (\theta)=2^n \theta$, de modo que $\theta$ es periódica de periodo n si y sólo si $2^n \theta=\theta+2k\pi$, es decir, $\theta=2k\pi / (2^n - 1)$ donde $1\leq k\leq 2^n$ es un número entero. Por lo tanto el periódico puntos de periodo n para $f$ $(2^n - 1)$- th raíces de la unidad. De ello se sigue que el conjunto de periódico puntos son densos en $S^1$. Usando esta definición, quiero demostrar que la $F(x)=4x^3-3x$ es caótica en el intervalo [-1,1]. Traté de hacer el ejercicio en esta manera: es fácil demostrar que $g(\theta)=3\theta$ es caótica. Si $h(\theta)=\cos(\theta)$, $h \circ g(\theta)=\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)$ es igual a $F\circ h(\theta)$. Pero $h(\theta)$ no es un homeomorphism, porque $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$. Cualquier sugerencia, por favor? Muchas gracias.
