Integrabilidad uniforme de detenido submartingales

Question

El siguiente es bien conocida y útil :

Lema. Deje $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ ser un probabiliy espacio, y dejan $\mathcal{X}=(X_i)_{i\in I}\in L^1(\mathbb{P})^I$ ser uniformemente integrable de la familia. A continuación, la familia de todos los condicional expectativas de $\mathcal{X}$ : $$\Big(\mathbf{E}(X_i\mid\mathcal{G})\Big)_{i\in I,~\mathcal{G}~\equiv~\text{sigma-subalgebras of }\mathcal{F}}$$ es uniformemente integrable.

Por lo tanto, si $(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ a (, a la derecha continua) filtración, se desprende que el tiempo de parada teorema de que cualquier derecho continua y uniformemente integrable martingala $(M_t)_{t\geq 0}$, el de la familia $$(M_T)_{\,T~\equiv~\text{stopping time}}$$ es uniformemente integrable. De hecho, para cualquier tiempo de parada $T$, $M_T=\mathbf{E}(X_\infty\mid\mathcal{F}_T)$, donde $X_\infty$ es el casi seguro y $L^1$ límite de $X_t$, $t\to+\infty$.

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Pregunta :

Supongamos $(S_t)_{t\geq 0}$ es un derecho continuo, uniformemente integrable submartingala. Es $$(S_T)_{\,T~\equiv~\text{stopping time}}$$ uniformemente integrable ?

Answer 1

En general, la familia de variables aleatorias $(S_T)_T$ no es uniformemente integrable. Vamos a introducir las siguientes definiciones:

Definición Deje $(X_t)_{t \geq 0}$ ser conjuntamente un medibles proceso estocástico. Si la familia $$\{X_{\tau}; \tau < \infty \, \, \text{stopping time}\}$$ is uniformly integrable, then we say that $(X_t)_{t \geq 0}$ is of class (D). If $$\{X_{\tau}; \tau \leq M \, \, \text{stopping time}\}$$ is uniformly integrable for any constant $M>0$, then $(X_t)_{t \geq 0}$ es de la clase (DL).

Como ya se ha señalado, cualquier uniformemente integrable martingala con càdlàg muestra los caminos de la clase (D). Permítanme mencionar que estos conceptos juegan un papel importante para la Doob-Meyer descomposición de (sub)martingales.

Para submartingales existe la siguiente declaración (ver Lema 5 aquí):

Lema Un càdlàg submartingale es de clase (DL) si y sólo si su parte negativa es de clase (DL).

En particular, cualquier valor no negativo càdlàg submartingale es de clase (DL). Por otra parte, se puede demostrar que la siguiente instrucción (ver Lema 4):

Lema: Un no-negativo càdlàg submartingale es de clase (D) si, y sólo si, es uniformemente integrable.

La equivalencia, en general, no se sostendrá si dejamos caer el supuesto de no negatividad.

Ejemplo Vamos a $(B_t)_{t \geq 0}$ ser una de tres dimensiones el movimiento Browniano comenzó a $B_0 =( 1,0,0)$. Si establecemos $u(x) := \frac{1}{|x|}$, $M_t := u(B_t)$ es un valor no negativo supermartingale. Tenga en cuenta que $(M_t)_{t \geq 0}$ tiene la muestra continua de caminos con probabilidad 1, ya que $$\mathbb{P}(\exists t>0: B_t=0)=0$$ (recall that $(B_t)_t$ is a three-dimensional Brownian motion; in dimension $d=1$ this statement is plainly wrong). It is possible to show that $(M_t)_{t \geq 0}$ es uniformemente integrable, pero no de la clase (D), ver el final del papel (1). En consecuencia, el proceso de

$$N_t := -M_t$$

es uniformemente integrable submartingale que no es de la clase (D).

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Hay equivale a las siguientes caracterización (véase el Capítulo 2 en (2)):

Teorema: Vamos a $(X_t)_{t \geq 0}$ ser un derecho-continuo submartingale. Entonces:

• $(X_t)_{t \geq 0}$ es de clase (DL) si, y sólo si, existe un derecho continuo de martingala $(M_t)_{t \geq 0}$ y no decreciente proceso predecible $(A_t)_{t \geq 0}$ tal que $X=M+A$.
• $(X_t)_{t \geq 0}$ es de clase (D) si, y sólo si, se admite una Doob-Meyer descomposición $X=M+A$ uniformemente integrable derecho-continuo martingala $(M_t)_{t \geq 0}$ y no decreciente predecible uniformemente integrable proceso de $(A_t)_{t \geq 0}$.

Referencia

(1) Johnson, G., Helms, L. L.: Clase D Supermartingales. Bull. Am. De matemáticas. Soc. 69 (1963), 59-62. (PDF)

(2) Yeh, J.: Martingales y Análisis Estocástico. Mundo Científico, 1995.