¿Por qué ser holomorfa implica tanto una función?

Question

Todavía no he comenzado mi complejo curso de análisis (pronto!), pero recientemente (inspirado por ustedes) he estado buscando en la holomorphic funciones. Y wow, está genial! Hay tantas cosas que la verdad acerca de ellos... Pero mi pregunta es: ¿por qué se holomorphic tal una fuerte condición? Hay algunos intuitiva razón por la que este aparentemente simple condición implica mucho acerca de una función?

edit: añado que me refiero, en particular, sobre la totalidad de las funciones. por ejemplo, no es del todo obvio para mí por qué ser diferenciable en el plano complejo implicaría Picard del teorema, que la función toma todos los valores, excepto en la mayoría de uno.

Answer 1

Yo afirmaría que lo que hace complejo analítica (holomorphic) funciones tan especial es la estructura de los números complejos en sí mismos. El hecho de que los números complejos son esencialmente de $\mathbb{R}^2$ y son también un campo es un pequeño milagro. Este milagro está en el corazón de el especial comportamiento de los complejos de funciones analíticas.

Es las dos dimensiones del plano y el campo de la multiplicación nos permiten ver el C-R ecuaciones. Mi forma favorita para ver el C-R ecuaciones es considerar $$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} $$ de Tomar en vez de $\Delta z =\Delta x$ y $\Delta z =i \Delta$ y el C-R ecuaciones acaba de aparecer. Esto requiere de dos dimensiones para los dos enfoques y utiliza que $\mathbb{C}$ es un campo cuando se divide por $\Delta z$. (Otra regla de la cadena tipo de pruebas de la C-R uso tanto de estos hechos, pero son algo más sutil.)

Seguramente la de Cauchy-Integrante de la Fórmula, que nos dice que un holomorphic función es, de hecho, $C^\infty$ merece una mención, en el hecho de que también es una consecuencia (menos directamente) de las dos dimensiones de la naturaleza de $\mathbb{C}$ y la estructura del campo. El estándar de prueba es el uso de Cauchy de la Integral Teorema que dice que si $f$ es un holomorphic en un simplemente conectado dominio, entonces $$\int_\gamma f =0$$ para cualquier suficientemente agradable cerrado $\gamma$ curvas en el dominio. Esto en sí mismo es visto por la aplicación de Verde (2-d de la estructura real de nuevo) y el C-R (estructura de campo).

Hay muchos, muchos más especial y fresco comportamientos de holomorphic funciones, pero todos ellos parecen sentarse en el milagro de las dos estructuras de los números complejos. Acaba de anunciar un par de, Principio de Identidad (2-d conectado es más fácil que ser 1-d), cero conteo de teoremas como Rouch (las integrales de línea a veces fría respuestas), la asignación abierta teorema (de cero a contar teoremas son super cool), el Teorema de Liouville (integral de Cauchy teorema de nuevo), en y en y en.

Answer 2

Creo que la mejor manera de 'imagen' de esta forma intuitiva sin haber empezado su curso, es el 'amplitwist", concepto acuñado por Tristán Needham (yo recomiendo su libro, Visual Análisis Complejo, si esta idea te interesa).

Esencialmente, la cita de su exposición:

Analítica asignaciones son precisamente aquellos cuyo efecto local es un amplitwist: todos los infinitesimales de los números complejos que emanan de un solo punto se amplifican y se torció la misma cantidad.

Esta noción puede ser apretado y rigurosa (ver Needham), pero no tiene el rigor de proporcionar iluminación. Lamentablemente no te puedo dar una intuición directa de trasplante, pero me animo a jugar un poco con funciones en $ \mathbf{C} $ y $ \mathbf{R}^2 $ para ver si usted puede entender lo que la condición anterior significa, y por qué podría ser significativamente más restrictiva que la de mero $ \mathbf{R}^2 $ analiticidad.

Así que para responder directamente a algunas de sus preguntas:

• Hay algunos intuitiva razón por la que este aparentemente simple condición implica mucho acerca de una función?

Sí, y es porque no es una simple condición! Esencialmente debido a la necesaria interacción entre lo real y lo complejo de las piezas que se muestra, ya sea de manera algebraica en la C-R ecuaciones, o geométricamente en el 'amplitwist' idea (hay amplitwist diagramas en línea, y cientos de Needham del libro-algunos podrían ayudar).

• no es del todo obvio para mí por qué ser diferenciable en el plano complejo implicaría el teorema de Picard

No son los únicos allí. Creo que todo el mundo está un poco sorprendido por Picard ('Gran'!) teorema. Estoy perpetuamente un poco sorprendido por ella. Pero entonces, muchos de los principales resultados obtenidos en el análisis complejo son altamente no-evidente. En cierto sentido, funciones analíticas son un importante objeto de estudio, precisamente porque su definición conduce a un gran número de 'nice' y propiedades interesantes.

Answer 3

Diría que lo principal es que usted tiene la integral de Cauchy fórmula.

Intuitivamente, la integración de algo que le hace ser uno de los más derivados. Ser capaz de escribir una función como algo que involucra su propia integral en todas las da de ser diferenciable. Ser capaz de escribir de una forma en la que reacciona bien a la diferenciación da infinitamente muchos derivados. Es algo similar a cómo un diferenciable solución a $f'= f$, o incluso de decir $f' = f^2 + (\cos x )\,f$ tiene que ser infinitamente diferenciable.

También es útil porque la fórmula reacciona tan bien de la diferenciación, que los límites en $f$ implica límites en todos los derivados que son lo suficientemente buenas para acotar el término de error en expansiones de Taylor, dando lugar a holomorphicity ser equivalente a ser analítica.

Answer 4

Una cosa que me parece importante es que se holomorphic (es decir, de la analítica en el plano complejo) es mucho más fuerte de propiedad que sobre la recta real solo.

Una compleja función derivable debe satisfacer el Cauchy-Riemann ecuaciones. Lo que el C-R ecuaciones esencialmente de captura es que por la derivada se define en el sentido complejo, que debe existir y ser la misma desde todas las direcciones. Esto nos restringe a una muy especial conjunto de funciones, por ejemplo, la conjugada de la función $f(z)=\bar{z}$ no es complejo-diferenciable (ver aquí)

Mientras que, si nos limitamos a la línea real que tienen esencialmente una sola dirección (la línea real) a lo largo de la cual la derivada es necesaria para existir, y la "interacción" entre las partes real e imaginaria se pierde (ver Cauchy-Riemann ecuaciones)

Answer 5

Lo que realmente me ayudó a entender cómo especiales holomorphic funciones es que, si $U \subconjunto \Bbb C$ es cierta región (abierto y conectado, e. g. $U = \Bbb C$), entonces cada holomorphic función $f\colon U \a \Bbb C$ está determinada únicamente por sus valores en cualquier subconjunto de $U$ que contiene a un punto límite.

En particular, cualquier holomorphic función $f \colon \Bbb C \a \Bbb C$ es determinada por sus valores en $\{ 0 \} \cup \{ \frac1n \ | \ n \in \Bbb, N \}$.

Primero de todo, esto la hace más creíble que la integral de una holomorphic función a lo largo de algunos curva cerrada que encierra tanta información sobre el comportamiento de $f$ en el interior de la curva (desde $f$ es determinada únicamente por sus valores en la curva!).

En segundo lugar, dice que a sabiendas de $f$ en algunos región muy pequeña (puede ser cualquier disco o que incluso pueden ser contables) automáticamente le indica lo que $f$ se ve como en cada otro punto. Por lo tanto, un holomorphic función en realidad sólo tiene un poco de "contables conjunto de la libertad"!

Edit: Como se pide, he aquí una prueba: supongo que sabemos que cada holomorphic función $f\colon U \a \Bbb C$ es (analítico yo. e., puede ser ampliado en una potencia de la serie alrededor de cada punto de su dominio). Yo le suponga que sabemos que dos de alimentación de la serie alrededor del mismo punto a $z$ son iguales si tienen los mismos valores en cualquier secuencia de $(z_n)$ convergentes a $z$ (donde $z_n \ne z$ para todo $n$). Si lo desea, me puede decir más acerca de estos dos hechos.

Deje que $f, g\colon U \a \Bbb C$ dos holomorphic funciones, deje que $A \subconjunto de U$ ser el conjunto de puntos donde $f$ y $g$ son iguales y dejar que $L$ ser su límite de puntos. Vamos a demostrar que $L$ es tanto cerrado y abierto. Esto implica (desde $U$ es conectado) que $L = \varnothing$ o $L = U$, lo que demuestra la anterior proposición.

$L$ es cerrado: es fácil ver que $a$ es cerrado (desde $A = (f - g)^{-1}(0)$ y $f - g$ es continua). Esto ya demuestra que $L$ es cerrado.

$L$ es abierto: Let a $z \in$ L. A continuación, $z$ es $U$ (ya que $A$ es cerrada, $z \in A \subconjunto de U$), por lo que podemos encontrar una pelota de $B$ todo $z$ en la cual podemos expandir $f$ y $g$ en el poder de la serie. Además, desde $z$ es un punto límite de $A$, hay una secuencia de $(z_n)$ convergentes a $z$ con $z_n \en \barra invertida \{ z \}$ para todo $n$. Por definición, de $A$ tenemos $f(z_n) = g(z_n)$, de modo que la potencia de la serie son iguales, es decir, $f = g$ a $B$. Pero esto implica que $B \subconjunto L$, por lo que $L$ es abierto. $\square$

Como una nota del lado, que en realidad sólo necesita saber que $f$ y $g$ son iguales en algunas conjunto cuyo punto límite que figuran en $U$. Sin embargo, la continuidad de $f$ y $g$ muestra que esto es equivalente a la anterior formulación.