Dimensión de $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$

Question

El siguiente problema fue objeto de examen que se realizó en el mes de junio. El documento está aquí. Problema 1 estados:

El producto tensor $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb{Q}$ es un espacio vectorial más de $\mathbb{Q}$ por la multiplicación en la izquierda factor, es decir, $\lambda(x\otimes y)=(\lambda x)\otimes y$ $\lambda x, y\in\mathbb{Q}$. ¿Cuál es la dimensión de $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$?

Sólo sé que la definición de producto tensor para los módulos (a través de universal de la propiedad). ¿Cómo se hace para calcular la dimensión de un espacio vectorial?

Gracias!

Answer 1

Comience por comprobar

\begin{align}\frac{a}{b}\otimes \frac{c}{d}&=\frac{ad}{bd}\otimes\frac{c}{d}\\ &=\frac{a}{bd}\otimes\frac{cd}{d}\\ &=\frac{a}{bd}\otimes c\\ &=\frac{ac}{bd}\otimes 1 \end{align}

Por eso, $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$.

Ahora usted puede terminar con él.