Calcula la inversa de la matriz.

Question

Tengo el siguiente conjunto, para los vectores columna $\alpha,\beta$ y matriz cuadrada $A$ estoy mirando el derivado $\frac{\partial\alpha^T e^{Ax}\beta}{\partial x}=\alpha^T Ae^{Ax}\beta=\alpha^T e^{Ax}A\beta$ donde $e^{Ax}$ representa la matriz exponencial.

Puedo escribir esto en términos de la función original? Así,

$$\frac{\partial\alpha^T e^{Ax}\beta}{\partial x}=\alpha^T Ae^{Ax}\beta=X\alpha^T e^{Ax}\beta$$

para algunos $X$? ¿Bajo qué circunstancias es posible esto? Gracias!

Answer 1

Hemos solucionado los vectores $\alpha$$\beta$; deje $M = e^{Ax}$. Lo que básicamente estás preguntando es si el producto $\alpha^T(AM)\beta$ puede ser reescrita como $X(\alpha^TM\beta)$ para algunos matriz $X$ (que es probablemente inependent de $x$). Afirmo que esto es bastante, obviamente, va a fracasar en general.

Considere el caso en que $\alpha = \beta = (1,0,\dots,0)$. En este contexto, tenga en cuenta que $\alpha^TM\beta = M_{11}$ (el 1,1 entrada de $M$). Usted es cuestión de cantidades a preguntar si existe "algo de $X$" de manera tal que $$ [AM]_{11} = X[M]_{11} $$ Primero de todo, tenga en cuenta que $X$ debe ser un escalar para esta multiplicación de hacer sentido. Segundo, no hay ninguna razón por la que deberíamos esperar $[AM]_{11}$ a un múltiplo de $[M]_{11}$, excepto, por ejemplo, si $A$ $M$ son diagonales. Más sobre esto en un minuto. Si $X$ es permitido a depender de $x$, siempre podríamos definir $$ X(x) = \frac{[H(x)]_{11}}{[M(x)]_{11}} = \frac{\alpha^TAM\beta}{\alpha^TM\beta} = \frac {(\alpha)^TM\beta}{\alpha^TM\beta} = \frac{\alpha^TM (\beta)}{\alpha^TM\beta} $$ pero que no parece ser el tipo de cosa que usted está buscando.

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He aquí un caso donde este puede trabajar: supongamos que $\beta$ es un autovector de a $A$ asociado con $\lambda$. $\beta$ también será un autovector de a $e^{Ax}$. De hecho, hemos $$ \alpha^T Ae^{Ax} \beta = \alpha^T e^{Ax}\beta = \alpha^T e^{Ax}(\lambda \beta) = \lambda (\alpha^T e^{Ax} \beta) $$ Una similar truco funciona si $\alpha^T$ es un autovector de a $A^T$. No puedo pensar en ningún otro caso en el que se podría esperar que este tipo de comportamiento.

Answer 2

Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser definido por

$$f (x) := \mathrm u^{\top} \exp (\mathrm A x) \, \mathrm v$$

Tomando la derivada,

$$f ' (x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f (x + h) - f (x)}{h} \right) = \cdots = \mathrm u^{\top} \mathrm A \exp (\mathrm A x) \, \mathrm v = \mathrm u^{\top} \exp (\mathrm A x) \, \mathrm A \mathrm v$$

Si $\mathrm v$ es un derecho autovector de a $\mathrm A$ con autovalor $\lambda$, luego

$$f ' (x) = \mathrm u^{\top} \exp (\mathrm A x) \, \mathrm A \mathrm v = \mathrm u^{\top} \exp (\mathrm A x) \, (\lambda \mathrm v) = \lambda \, f (x)$$

Si $\mathrm u$ es una izquierda autovector de a $\mathrm A$ con autovalor $\mu$, luego

$$f ' (x) = \mathrm u^{\top} \mathrm A \exp (\mathrm A x) \, \mathrm v = (\mu \, \mathrm u^{\top}) \exp (\mathrm A x) \, \mathrm v = \mu \, f (x)$$