Demostrando que un mapa lineal $\mathbb{R}[x]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}^3$ es un isomorfismo.

Question

Dejemos que $t_1,t_2,t_3$ sean números reales distintos y consideremos el mapa lineal

$$T : \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}^3, \quad \quad p(x) \mapsto \begin{pmatrix}p(t_1)\\p(t_2)\\p(t_3)\end{pmatrix}$$

Quiero demostrar que $T$ es un isomorfismo. Dado que se da que $T$ es lineal, sólo necesito demostrar que $T$ es biyectiva. Mi enfoque inicial era resolver el sistema

$$ \begin{pmatrix} a + bt_1 + ct_1^2\\ a + bt_2 + ct_2^2\\ a + bt_3 + ct_3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3 \end{pmatrix} $$

para $a,b,c$ en términos de $r_1,r_2,r_3$ determinando así el mapa inverso $T^{-1}$ mapear un punto en $\mathbb{R}^3$ a un polinomio de grado $\leq 2$ .

Resolví este sistema usando Maple, y obtuve una solución que estaba definida cuando $t_1,t_2,t_3$ donde no todos son iguales, lo cual está bien según su definición, pero me pregunto si hay un argumento más bonito, sobre todo porque la solución es bastante fea.

(esto no es una tarea)

Answer 1

Sólo toma $1,x,x^2$ . Se transforman en $\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}t_1\\ t_2 \\ t_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}t_1^2\\ t_2^2 \\ t_3^2\end{pmatrix}$ . Para demostrar que son linealmente independientes, calcula el determinante de $\begin{pmatrix}1&t_1&t_1^2\\1&t_2& t_2^2 \\1&t_3& t_3^2\end{pmatrix}$ que es, por cierto, Matriz de Vandermonde .

Answer 2

Pista: ¿Qué hay en el núcleo de tu mapa?

Answer 3

Una pista:
$T$ está en: Polinomio de Langrange .

Inyectabilidad: si $p$ es un polinomio de grado $\le2$ , conociendo los valores en 3 puntos distintos, sabes $p$ .

Answer 4

Creo que puede ser más fácil demostrar que la matriz asociada siempre tiene un determinante distinto de cero. Esto es una resultado conocido .