Demostrar que toda bola cerrada en $\Bbb R^n$ es secuencialmente compacto.

Question

Pregunta:

Demostrar que toda bola cerrada en $\Bbb R^n$ es secuencialmente compacto.

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Un subconjunto $E$ $\Bbb R^n$ se dice que squentially compacto $\iff$ cada secuencia $x_k\in E$ ha convergente larga cuyo límite pertenece a $E$

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Solución:

Deje $B_R(a)$ ser cerrado pelota. Deje $x_k$ ser una secuencia en $B_R(a)$

Entonces, $$\vert\vert x_k-a\vert\vert \le M$$ for $M>0$

Por la desigualdad de triángulo,

$$\vert\vert x_k-a\vert\vert \le \vert \vert x_k\vert \vert +\vert\vert a\vert \le M \ \ \Rightarrow \vert\vert x_k\vert\vert \le \vert\vert a\vert\vert +M $$

Así que la secuencia $x_k$ está acotada.

Por Bolzano W. Teorema, $x_k$ ha convergente subsecuencias.

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Ahora tengo que demostrar que estas convergente subsecuencias tiene un punto límite en $B_R(a)$.

Pero, ¿cómo? Por favor explique esta parte. Gracias:)

Answer 1

Lo que escribí no es del todo correcto. Lo que debería haber utilizado es el de revertir la desigualdad de triángulo $$|\lVert x_k\rVert-\lVert a\rVert |\leq \lVert x_k-a\rVert\leq M$$

Esto le da a ese $$-M\leq\lVert x_k\rVert-\lVert a\rVert\leq M$$ $$\lVert a\rVert-M\leq\lVert x_k\rVert\leq M+\lVert a\rVert$$

así que la sucesión es acotada. Parece extraño el uso de Bolzano Weiertrass, ya que lo que se pide demostrar que es precisamente ese teorema. Yo diría de la siguiente manera. Usted probablemente sabe que el resultado de Bolzano Weiertrass para $\Bbb R^1$. Pero se puede extender fácilmente a $\Bbb R^n$. Considere la posibilidad de un almacén de secuencia en $\Bbb R^n$ $${\bf x}_k=(x_{k,1},x_{k,2},\ldots,x_{k,n})$$

Por Bolzano Weiertrass, $x_{k,1}$ ha convergente larga, $y_{k,1}=x_{n_k,1}$. Ahora mira a $${\bf x}_{n_k}={\bf y}_k=(y_{k,1},y_{k,2},\ldots,y_{k,n})$$

Esto es ahora una larga de toda la ${\bf x}_k$. Sabemos que el subsequence $y_{k,2}=x_{n_k,2}$ es acotado, por lo que tiene un convergentes larga por Bolzano Weiertrass en $\Bbb R^1$, que vamos a llamar a $z_{k,2}=y_{k_j,2}$. Ahora tenemos una larga de ${\bf y}_k$ (que ya era un subsequence de ${\bf x}$, cuyas dos primeras coordenadas correspondientes subíndices y ambos convergen. Y como usted debe de ver por ahora, que en última instancia, obtener una larga de "profundidad $n$" (lo que significa que será la larga de una larga ... una larga de ${\bf x}$ - $n$ veces), que podemos llamar $${\bf x'}_j=(x_{j,1}^\prime,\ldots, x_{j,n}^\prime)$$ which converges, since each coordinate converges. Thus, Bolzano Weiertrass is proven for $\Bbb R^n$. Ya cerradas las pelotas son conjuntos cerrados, su reivindicación de la siguiente manera, desde conjuntos cerrados de contener su límite de puntos.

NOTA Bolzano Weiertrass es, precisamente, la afirmación de que toda bola cerrada en $\Bbb R^n$ es compacto, de forma equivalente, secuencialmente compacto, o que $\Bbb R^n$ es localmente compacto, es decir, cada punto de $a\in\Bbb R^n$ tiene un barrio cuyo cierre es compacto.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que una bola cerrada es un conjunto cerrado.

Para probar esto, deje $E\subset \mathbb{R}$ es una bola cerrada de radio $R$$y$. Deje $x\in E^{C}$. Ahora, vamos a $r=d(x,y)-R>0$$z\in B_{r}(x)$. Entonces $$d(y,x)\le d(y,z)+d(z,x)<d(y,z)+r\\ \Rightarrow d(y,z)>R$$ Hence $z\noen E$ and hence the open ball $B_r(x)$ is totally contained in $E^{C}$. hence $E^{C}$ is open and hence $E$ es cerrado.

Ahora, ya que usted tiene un convergentes (sub)de la secuencia en un conjunto cerrado, se va a converger en algún punto en el juego en sí, por definición de conjunto cerrado. Así que usted está listo.