Encontrar el $\lim _{z\rightarrow i} \frac{1-|z|}{i-z}$

Question

¿Cuál es el límite de

$$\lim _{z\to i} \frac{1-|z|}{i-z}.$$

Answer 1

Es apreciado si usted proporciona algo más de contexto y nos muestran sus propios esfuerzos.

Sugerencia

$$\lim _{z\to i} \frac{1-|z|}{i-z}$$

Calcular el límite a lo largo de dos caminos diferentes:

• A lo largo del eje imaginario: tome $z=x+iy$, $x=0$ y deje $y \to 1$: $$\lim _{z\to i} \frac{1-|z|}{i-z} \to \lim_{y \to 1} \frac{1-|yi|}{i-yi} = \ldots$$

• En el círculo unidad: tome $z=e^{it}$ y deje $t \to \tfrac{\pi}{2}$: $$\lim _{z\to i} \frac{1-|z|}{i-z} \to \lim_{t \to \tfrac{\pi}{2}} \frac{1-|e^{it}|}{i-e^{it}} = \ldots$$

Puede llenar los vacíos/puntos?

Answer 2

Deje $z=r\exp(i\theta)$.

$\displaystyle \lim_{z\to i} \frac{1-|z|}{i-z} = \lim_{(r,\theta)\to(1,\frac\pi2)} \frac{1-r}{i-r\exp(i\theta)}$

La fijación de $r=1$ da $\displaystyle \lim_{\theta\to\frac\pi2} \frac{1-1}{i-\exp(i\theta)} = 0$.

La fijación de $\theta=\frac\pi2$ da $\displaystyle \lim_{r\to1} \frac{1-r}{i-ir} = -i$.

Por lo tanto, el límite no existe.

[Esto es más o menos la misma idea que el otro responda.]

Answer 3

Para mayor comodidad, vamos a

$$ z = x + iy, $$ $$ f(z) = \frac{1 - |z|}{i-z} = \frac{1 - |x +iy|}{-x + i(1 -y)}.$$

Si $f$ tiene un límite como $z\to i$, este límite debe ser único, independientemente de cómo se $z$ enfoques $i$. Sin embargo, vamos a mostrar que este no es el caso.

En primer lugar, vamos a $z\to i$ a lo largo del eje imaginario, es decir, $z = 0 + iy$:

$$ \lim_{z\to i} f(z) = \lim_{x=0,y\to 1} \frac{1-y}{i(1-y)} = -i. \quad (1) $$

Ahora, vamos a $z\to i$ a lo largo del recorrido horizontal $z = x + i$:

$$ \lim_{z\to i} f(z) = \lim_{x\to 0,y=i} \frac{1-\sqrt{1+x^2}}{-x} =0, \quad (2)$$

donde hemos utilizado la aproximación

$$\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4). $$

Debido a que los dos límites de $(1)$ $(2)$ son diferentes, la función de $f(z)$ no tiene un límite como $z\to i$.