¿Por qué este argumento invocando el valor medio teorema incorrecta?

Question

¿Dónde está el error en este argumento?

Deje $f^\prime (x)$ existen para $a < x < b$. Deje $a < c < b$. Entonces si $h$ elegido es tal que $ a < c + h < b$, el valor medio teorema da $$ \frac{f(c+h) - f(c)}{h} = f^\prime (c + \theta \, h) $$ donde $0 < \theta < 1$. Tomar el límite donde el $h \to 0$. A continuación, el lado izquierdo tiende a $f^\prime (c)$. Esto implica que el límite de $f^\prime (c + \theta \, h)$ $h \to 0$ existe y es igual a $f^\prime (c)$. Por lo tanto, $f^\prime (x)$ es continua en a $x = c$.

Este argumento claramente no puede ser correcta. Considere el ejemplo de la función $$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x=0,\\ x^2 \sin(1/x) & \text{otherwise}. \end{casos} $$ Esta función es continua en todas partes, y su derivada existe en todas partes. Así que parece que el valor medio teorema debe aplicar para cualquier intervalo que yo elija. Pero su derivada es discontinua en a $x=0$, lo que contradice la conclusión de que el argumento anterior.

Answer 1

Permítanme darles un ejemplo de un argumento similar que deja más claro lo que está mal aquí. Considere la función $g(x)$ $g(x)=1$ si $x\geq 0$ $g(x)=0$ si $x<0$. Voy a "demostrar" que $\lim_{x\to 0} g(x)=1$, y, por tanto, $g$ es continua en a $0$.

Para ello, basta considerar la ecuación de $1=g(h^2)$. Esta ecuación es verdadera para todos los valores de $h$. Ahora vamos a tomar el límite en ambos lados como $h\to 0$. El lado izquierdo obviamente converge a $1$. Por lo tanto el lado derecho converge a $1$, y desde $h^2$ se aproxima $0$$h\to 0$, esto indica que $g(x)$ converge a$1$$x$$0$.

Esto es obviamente erróneo, y la razón por la que está mal debe también espero ser claro: la última cláusula de la última frase no siga. Sabemos que $\lim_{h\to 0} g(h^2)=1$, pero esto no implica automáticamente que $\lim_{x\to 0} g(x)=1$, porque como $h$ enfoques $0$, $h^2$ no cubrir cada posible valor de $x$ cobertura como $x$ enfoques $0$ (se echa de menos todos los valores negativos).

Así que tu argumento tiene el mismo problema. Usted sabe que $\lim_{h\to 0} f'(c+\theta(h)h)=f'(c)$ (aquí estoy escribiendo $\theta(h)$ en lugar de sólo $\theta$, ya que el $\theta$ realmente depende de $h$). Pero no se puede concluir de esto que el $\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(c)$, debido a que usted no sabe que todos los $x$ cerca de $c$ puede ser escrita en la forma $c+\theta(h)h$ $h$ cerca de $0$. La mejor que se puede decir es que existe una secuencia de puntos de $x_n\neq c$ convergentes a $c$ tal que $\lim_{n\to\infty}f'(x_n)=f'(c)$ (por ejemplo, pongamos $x_n=c+\theta(1/n)/n$). Pero a la conclusión de que la $\lim_{x\to c}f'(x)=f'(c)$, usted necesita saber esto para cada secuencia $(x_n)$ que converge a $c$, y no sé que.

Answer 2

Usted ha demostrado que, para todos los $h$ tal que $a < c+h < b$ existe alguna $\theta \in [0,1]$ tal que ${ f(c+h)-f(c) \over h} = f'(c+\theta h)$.

En este contexto, tenemos que para todos los $h_k \to 0$, existe $\theta_k$ tal que ${ f(c+h_k)-f(c) \over h_k} = f'(c+\theta_k h_k)$. En particular, $\lim_k f'(c+\theta_k h_k) = f'(c)$.

Sí no estado que para todos los $h_k \to 0$ que $\lim_k f'(c+ h_k) = f'(c)$.

En el ejemplo que usted dio, es claro (debido a $f$ tiene máximos y mínimos arbitrariamente cercano a cero) que para cualquier $\epsilon>0$ hay puntos de $-\epsilon < x_k < 0 < y_k < \epsilon$ tal que $f'(x_k) = f'(y_k) = 0$.

Por lo tanto para cualquier $h$, hay algunos $\theta \in [0,1]$ tal que $\theta h$ es uno de los ceros de $f'$.

Answer 3

Theta no es fijo, sino que depende de h.