Búsqueda de valores de una función definida a tramos de tal manera que es diferenciable en a $x=1$

Question

Vamos

$$ f(x)= \begin{cases} a-x & x \leq 1, \\ \frac{1}{bx} & x>1. \end{cases} $$

Teniendo en cuenta esta función definida a trozos encontrar los valores de $a,b$ tales que la función es diferenciable en a $x=1$. Dar el valor de $f'(1)$.

No sé cómo ir sobre esta cuestión sin tener ningún tipo de valores numéricos reales. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sin duda tiene que ser continua en $x=1$, lo que significa que $a-x = 1/(bx)$ $x=1$ o $a-1 = 1/b$.

También, la derivada de la izquierda tiene que ser igual a la derivada de la derecha, lo que significa que

$$-1 = -\frac{1}{bx^2}$$

en $x=1$, o

$$-1 = -\frac{1}{b}.$$