¿Cómo sabemos que Taylor de la Serie trabaja con números complejos?

Question

Euler famoso utilizado el de Taylor (Serie de $\exp$:

$$\exp (x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

y de hecho la sustitución $x=i\theta$ encontrar

$$\exp(i\theta) = \cos (\theta)+i\sin (\theta)$$

¿Cómo sabemos que Taylor de la serie, incluso tienen para los números complejos? ¿Cómo podemos justificar la sustitución de un número complejo en la serie?

Answer 1

La serie $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ es convergente en $C$, y por lo tanto se define una Analítica de la función.

Ahora bien, hay algunas maneras diferentes para convencerse de que esto tiene que ser $e^z$.

Por una vez, es el único continuación Analítica de $e^x$ a del plano complejo...

O, alternativamente, usted puede probar que $f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)$$f(1)=e$. También, usted puede demostrar que es la única función derivable la satisfacción de estas dos relaciones.

Si prefieres las ecuaciones diferenciales, $f'(z)=f(z)$ $f(1)=e$ exclusiva de determinar una solución, y bot $e^z$ $f(z)$ son soluciones....

Answer 2

Se define una función compleja por la fórmula $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} $. Usted probar que converge en todas partes y define un holomorphic función de $z$. Entonces usted probar que para $z=x \in \mathbb{R}$ está de acuerdo con el usuall exponencial.