Funciones diferenciables definidas sobre una superficie

Question

En primer lugar, recordemos la definición general de una función derivable de la siguiente manera. Supongamos $f :D\subset \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$. A continuación, $f$ es diferenciable en $\mathbf a \in D$ si no es una función lineal $L:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ tal que

$$\lim_{\mathbf x\rightarrow\mathbf a}\frac{\|f(\mathbf x)-[f(\mathbf a)+L(\mathbf x-\mathbf a)]\|}{\|\mathbf x-\mathbf a\|} = 0.$$

Consideremos ahora una definición de una función diferenciable definida en una superficie dada en la mayoría de la geometría diferencial de libros de texto. Deje $f:V\subset S\subset \mathbb R^3\rightarrow \mathbb R$ ser una función definida en un subconjunto $V$ de una superficie $S$ (que en sí es un subconjunto de a $\mathbb R^3$). A continuación, $f$ es diferenciable en a $\mathbf p\in V$ si por alguna parametrización $\mathbf x: U\subset\mathbb R^2\rightarrow S$$\mathbf p\in \mathbf x(U)\subset V$, la composición de la $f\circ\mathbf x:U\subset \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$ es diferenciable en a $\mathbf x^{-1}(\mathbf p)$.

Mi pregunta es, si las dos definiciones están de acuerdo el uno con el otro. Para ser más específicos, si los dos definiciones están de acuerdo, entonces

1. ¿Por qué necesitamos una nueva definición de funciones diferenciables definidas en una superficie que es en realidad un subconjunto de a$\mathbb R^3$, de todos modos?
2. ¿Cuál es la correspondiente función lineal $L$ en la segunda definición?

Gracias!

Answer 1

Creo que sus preguntas serán contestadas en el que más claramente si tratamos de identificar los supuestos bajo los cuales las definiciones que escribió para la diferenciabilidad sentido. La primera cosa a notar es que, como usted escribió, que la primera definición dice que cuando un mapa es diferenciable y cuál es su diferencial, mientras que la segunda definición dice que cuando un mapa es diferenciable. Un mapa diferenciable de una superficie también tiene un diferencial, pero generalmente se discuten por separado a partir de la definición de la diferenciabilidad.

La primera definición que han dado sentido para las funciones de $f \colon D \rightarrow \mathbb{R}$ definida en un abierto subconjunto $D \subseteq V$ de algunos normativa vector de espacio de $(V, ||\,||)$. Escribimos $x - a$, y que requerimos de el mapa de $L \colon V \rightarrow \mathbb{R}$ a ser lineal, por lo $V$ mejor tener la estructura de un espacio vectorial y utilizamos la norma para hacer sentido de los límites y estimar el tamaño de $x - a$. La interpretación de $L$ que tenemos en mente es que, dada $v \in V$ con $||v|| = 1$, $Lv = \frac{d}{dt} f(a + tv)|_{t =0}$ es direccional derivado de la $f$ en la dirección de $v$.

Esta definición tiene sentido incluso si $D$ no está abierto, si tomamos el límite en $D$, el tratamiento de la $D$, por ejemplo, como un espacio métrico con la métrica inducida a partir de la norma $||\,||$. Sin embargo, esto plantea muchos problemas. Por ejemplo, si $D = \{ (x,y,z) \, | \, z = 0 \} \subset \mathbb{R}^3$, entonces la derivada $L$ no será el único. El límite de $x \to a$ es tomado en $D$, lo $x - a$ siempre se encuentran en $D$ e lo $L(x-a)$ que aparece en el límite sólo depende de la $L$ actúa sobre el subespacio $D$ y no en el conjunto de la $\mathbb{R}^3$. El problema es que en $D$, uno puede acercarse a un punto de $a$ utilizando únicamente las instrucciones que se encuentran en el plano xy y por tanto, no tiene sentido exigir a priori de $L$ a ser definida en todo el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$, pero para ser definido sólo en las direcciones que son relevantes para el límite. Por supuesto, podemos tomar $D$ a ser algo parecido a $\{ (x,|x|,0) \, | \, x \in \mathbb{R} \}$ y, a continuación, sólo hay dos direcciones a partir de la cual podemos acercarnos a $a = (0,0,0)$ dentro $D$ , por lo que no tiene sentido para codificar la derivada direccional en un operador que está definida sobre un espacio vectorial.

Es por eso $D$ es tomada ser un conjunto abierto y por lo tanto cada punto de $a \in D$ puede ser abordado dentro de $D$ a través de todas las direcciones posibles, y decimos que $f$ es diferenciable en a $x = a$ si todas las posibles derivadas direccionales pueden ser "codificado de manera uniforme en un operador lineal" $L \colon \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$.

Ahora, si $S \subseteq \mathbb{R}^3$ es un habitual de la superficie, nunca es abierta en$\mathbb{R}^3$, por lo que necesitamos un enfoque diferente. Pensamos en una superficie como un objeto bidimensional y modo que para comprobar la la diferenciabilidad de $f$$p$, intuitivamente sabemos que tenemos que comprobar es sólo con respecto a las instrucciones que el punto de $p$ puede ser abordado dentro de $f$. La más sencilla definición es la de componer $f$ con un gráfico de coordenadas alrededor de $x = p$ (que se vuelve $f$ en una función de dos variables) y, a continuación, decir $f$ es diferenciable si la composición es diferenciable.

La conexión a lo que escribí antes, si lees más, verás que el hecho de que $S$ es un habitual de la superficie y no un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}^3$ garantiza que en cada una de las $p \in S$ no es bidimensional afín subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$ llamado que de plano tangente que consta de las velocidades ("direcciones") de todas las curvas que pasan a través de $p$ y vivir en $S$. Este plano tangente depende del punto de $p \in S$ y cambios cuando nos movemos $p$ alrededor. El diferencial de $f$ $p \in S$ se define como un lineal mapa de $df_p \colon T_pS \rightarrow \mathbb{R}$ e si $f$ es la restricción de un mapa diferenciable $\tilde{f} \colon \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, luego en las identificaciones, $df_p$ será la restricción de $d\tilde{f}_p$ a las dos dimensiones subespacio de "relevante" en las direcciones tangentes a $S$.