Si $F: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es continua y $\| F(x) - F(y)\| \geq \lambda \| x - y \|$ $F$ un surjection?

Question

En mi análisis real de la clase de mi profesor nos dio el problema de la prueba de que si $F: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es continua y satisface $\| F(x) - F(y)\| \geq \lambda \| x - y \|$ $F$ es un bijection con inversa continua. ($∥⋅∥$ es el Eucliden norma y $\lambda$ es algún número real positivo.)

El problema de la inyectividad es bastante fácil ya que si $x \neq y$$\|F(x) - F(y)\| \geq \lambda \|x-y\| > 0$.

También, dado que F es continua bijection, a continuación, la continuidad de la inversa de la $g$ también es obvio ya que la fijación de $x = F(u)$ $y = F(v)$ tenemos que $\|g(x) - g(y)\| = \|u-v\| \leq \frac{1}{\lambda}\|x-y\|$, por lo que g es Lipschitz y por lo tanto continua.

Mi pregunta es, ¿cómo exactamente se debe demostrar surjectivity? Parece bastante fácil por el teorema del valor intermedio si nos restringimos $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Pero me parece que no puede averiguar más general. cualquier sugerencias sería muy apreciada!

Answer 1

Esta es una respuesta parcial.

Llame a $X=F(\mathbb{R}^m)$. Entonces el inverso mapa de $g: X \longrightarrow \mathbb{R}^m$ es Lipschitz continua. Me muestran que esto implica que $X$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^m$.

Deje $x_n \subset X$ ser una secuencia convergente con $x_n \to x$. Es suficiente para demostrar que $x \in X$. Ahora, $g(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}^m$, por lo que converge a algunos $y$. La aplicación de $F$ obtenemos $x_n \to F(y) $ por lo tanto $x = F(y) \in X$.

Si uno es capaz de demostrar que $X$ también está abierto (tal vez usando ese $F$ es una incrustación?), por conexión argumento tenemos $X = \mathbb{R}^m$.

Answer 2

he aquí una idea con $m=2.$

Primera toma de $\lambda=1.$ podemos cambiar la escala para reducir a este caso.

Ahora tome los ejes, estos deben mapa de curvas de ir a infinito. Así que tenemos un rizado X en la imagen.

Vamos a tomar un punto de $(a,b)$ e intentar encontrar el punto de mapeo. Debe ser en una parte de la $X.$

Supongamos WLOG la parte es la imagen del cuadrante superior derecho.

Si vamos lejos a lo largo de los ejes en los puntos de $(x,0)$ $(0,y)$ la línea entre lo que se debe asignar a una curva de dar una llave de triángulo que contiene $(a,b)$. Esto se deduce de la hipótesis principal dado que la asignada a punto debe ser desde el origen.

Consideremos ahora los rayos que va desde el origen hasta la línea entre el $(x,0)$ $(0,y).$ podemos parametrizar estos por la distancia de $(x,0).$ En algún momento de sus imágenes deben de tránsito de estar por debajo del $(a,b)$ por encima de él. Así que toma el supremum de puntos que dan las curvas que se encuentran debajo. $(a,b)$ , debe recaer en la imagen de dicho rayo.