acerca de la debilidad de la convergencia en $L^{2}(0,T;H)$

Question

Estoy tratando de hacer un ejercicio y si la siguiente afirmación es verdadera, mi ejercicio se realiza .

Esta es la afirmación :

Afirmación : Vamos a $H$ un espacio de Hilbert y supongamos $u_k$ converge débilmente a$u$$L^{2}(0,T;H)$.

Supongamos que $\operatorname{ess sup}_{ 0 \leq t \leq T} \ || u_k (t)|| \leq C$. A continuación, $u_k(t) $ converge débilmente a $u(t)$ por cada $t$.

Estoy tratando de hacer, pero nada... . Alguien me puede dar una pista ? (por favor no me dan una respuesta completa , solo una sugerencia ^^ )

gracias de antemano ^^

Answer 1

Deje $H=L^2(\Omega)$ donde $\Omega\subset\mathbb{R^N}$ es un dominio acotado y tome $f\in H$$f\neq 0$. Deje $e_k$ ser un ortonormales base de $H$. Definir $u:(0,T)\to H$ por

$$ u_k(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} tf &\mbox{ if %#%#%} \\ e_k &\mbox{ if %#%#% } \end{array} \right. $$

Tenga en cuenta que$t\in (0,T/2)\cup(T/2,1)$,$t=T/2$. Por otra parte, $\int_0^T \|u_k(t)\|_2^2dt=\int_0^Tt^2\|f\|_2^2dt<\infty$$

Por lo tanto, $u_k\in L^2(0,T,H)$ débilmente en $$\int_0^T(u_k(t),g(t))dt=\int_0^T(tf,g(t))dt,\ \forall\ g\in L^2(0,T,H)$. También, tenemos que (a menos que sea para $u_k\to ft$) $L^2(0,T,H)$, donde $t=T/2$ no depende de $\|u_k(t)\|_2=\|tf\|_2\leq C$ o $C$, lo que implica que $t$$

Para concluir, queremos señalar que $k$ no converge débilmente a $$\operatorname{ess}\sup_{0\leq t\leq R}\|u_k(t)\|_2\leq C$.

Answer 2

El espacio de Hilbert $H$ aquí es un arenque rojo; esto es falso, incluso cuando $H = \mathbb{R}$ (por lo que estamos hablando sólo de $L^2([0,T])$.)

De hecho, tal y como está es falso, incluso si usted tiene una fuerte convergencia en $L^2([0,T])$. Hay un ejemplo de una secuencia de funciones de $u_k : [0,1] \to [0,1]$ que convergen en la medida en 0, pero para los que se $u_k(t)$ diverge para cada $t$. Véase, por ejemplo, en el Ejemplo 4 de estas notas de Terry Tao, donde se la llama la "máquina de escribir de la secuencia". Dominado por la convergencia, también tenemos $u_k \to 0$$L^2$.

Fuerte $L^2$ convergencia implica en casi todas partes, la convergencia de una larga, pero débiles $L^2$ convergencia no. Considere la posibilidad de $L^2([-\pi,\pi], \mathbb{C})$ y deje $u_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$. El $u_k$ son ortonormales secuencia en la $L^2$, lo $u_k \to 0$ débilmente en $L^2$. Si hubo una larga $u_{k_j}$ $u_{k_j} \to 0$ en casi todas partes, entonces dominado por la convergencia, tendríamos también a$u_{k_j} \to 0$$L^2$. Pero $\|u_k\|_{L^2} = 1$ por cada $k$, así que esto es absurdo.

Generalmente hablando, $L^2$ convergencia no puede decir mucho acerca de pointwise convergencia, y la debilidad de $L^2$ convergencia dice incluso menos.