"Significa Teorema del Valor" para un integrable y delimitada la función

Question

Hay una fórmula que recuerda el Valor medio Teorema en forma integral para una función que sólo es integrable y acotado, no continuo. Que es: Si $f$ es integrable en a $[a,b]$ $m\leq f(x) \leq M$ todos los $x$$[a,b]$, luego: $${\int_{a}^{b}f(x)dx = \mu (b-a)}$$ where $m\leq \mu \leq M$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Si $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es una primitiva de $f$ $P$ es una partición de a $[a,b]$, luego: $${\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n[F(t_i) - F(t_{i-1})].}$$ Using the fact that $F$ has derivative, it follows that the Mean Value Theorem applies: there exist, for each subinterval $[t_{i-1},t_i]$, a $c_i \(t_{i-1},t_i)$ such that: $${F(t_i) - F(t_{i-1}) = F'(c_i)(t_i - t_{i-1})}$$ for all $yo$. Then my guess is that I would use the inequality: $${m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)}$$ where $m$ and $M$ are the "inf" and "sup" of $f$, respectivamente, pero a partir de aquí estoy atascado.

Answer 1

Para cualquier partición $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$, la suma de Riemann $$ \Sigma_{i=0}^{n-1} f(\tilde x_i) (x_{i+1} - x_i) $$ donde cada una de las $\tilde x_i \in [x_i, x_{x+1}]$, es acotado abajo por $m (b-a)$ o más por $M (b-a)$. Por ejemplo, $$ \begin{align} m (b-a) &= m \Sigma_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) \\ &= \Sigma_{i=0}^{n-1} m (x_{i+1} - x_i) \\ &\le \Sigma_{i=0}^{n-1} f(\tilde x_i) (x_{i+1} - x_i) \\ \end{align} $$ y lo mismo para $M$.

De modo que la integral, el límite de las sumas de Riemann, es entre estos mismos límites: $$ m (b-a) \le \int^b_a f(x) dx \le M (b-a) \text{.} $$ Ahora, $x \mapsto x (b-a) \colon [m, M] \to \mathbb{R}$ es continuo, de modo que por el teorema del valor intermedio hay algunos $\mu \in [m, M]$ donde $$ \mu (b-a) = \int^b_a f(x) dx $$

Answer 2

Queremos probar lo siguiente:

Si $f$ es integrable en a $[a,b]$ $m\leq f(x) \leq M$ todos los $x$$[a,b]$, luego: $${\int_{a}^{b}f(x)dx = \mu (b-a)}$$ where $m\leq \mu \leq M$.

Aunque esto es algo que recuerda a un valor medio teorema para las integrales, es mucho más sencillo. Llame $$ \int_a^b f(x) dx = I,$$ que existe desde $f$ es integrable. Es muy fácil demostrar que $m(b-a) \leq I \leq M(b-a)$, y puedo dar esto por sentado.

A continuación, se puede considerar una función de $g(x) = I - x(b-a)$ en el intervalo de $[m,M]$. Ahora $g$ es una función continua. Sabemos $g(m) \geq 0$$g(M) \leq 0$, de modo que por el teorema del valor intermedio hay algunos $\mu \in [m,M]$ tal que $I - \mu(b-a) = 0$, o más bien $I = \mu(b-a)$. $\diamondsuit$

La fuerza de la costumbre valor medio integral teorema es que hay algunos $c$, de modo que la integral está dada por $f(c)(b-a)$, en particular, que es dado por un determinado valor de $f$.

No podemos esperar a probar la misma cosa aquí. Por ejemplo, considere la función dada por $0$$0$$1$$2$$1$%#%. A continuación, el valor promedio es $2$, que no es un valor que toma la función.