La evaluación de $\lim_{x\to0} \frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$

Question

Evaluar $$\lim_{x\to0} \frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$$

Answer 1

Sabemos que $\lim_{x\to0}\color{red}{\frac{e^x-1}{x}}=1$, o lo demostramos el uso de L'Hospital.

Sabemos que $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$, o lo demostramos el uso de L'Hospital, o utilizando el límite anterior.

A continuación, tomamos el límite

$$\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}&=\lim_{x\to0}\frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e}{x}\\&=e\lim_{x\to0}\left[\color{red}{\frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1}{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}}\frac{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}{x}\right]\\&=e\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\end{align}$$

La parte roja se fue porque tiende a $1$, debido a que los dos primeros límites anteriormente.

El uso de L Hospital con el límite último.

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-1}{2(1+x)}=-\frac{1}{2}$$