Ejercicio de series en un espacio de Banach

Question

A base vectorial de un espacio vectorial $E$ es una familia $(a_{\lambda})_{\lambda\in L}$ tal que cualquier elemento de $E$ puede escribirse de forma única como una combinación lineal de un número finito de $a_{\lambda}$ Esto implica, en particular, que el $a_\lambda$ son linealmente independientes.

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de elementos linealmente independientes en un espacio de Banach $E$ . Definir inductivamente una secuencia $(t_n)$ de números reales positivos de la siguiente manera: si $d_n$ es la distancia del punto $t_n a_n$ al subespacio $V_{n-1}$ generado por $a_1,...., a_{n-1}$ (nota que $d_n>0$ ), toma $t_{n+1}$ tal que $|t_{n+1}|\cdot ||a_{n+1}|| < \frac{d_{n}}{3}$ . Demuestre que la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}t_n a_n}$ es absolutamente convergente, y que su suma $x$ no pertenece a ninguno de los subespacios $V_n$ .

Answer 1

Supongo que $V_0$ se define como $\{0\}$ . Desde $0\in V_{n-1}$ tenemos $d_n\leq \Vert t_na_n\Vert$ Así que $\Vert t_{n+1} a_{n+1}\Vert<\frac13 \Vert t_na_n\Vert$ para todos $n\in\mathbb N$ por la elección de $t_{n+1}$ . Se deduce (prueba de la relación) que la serie $\sum_{n\geq 1} t_n a_n$ es absolutamente convergente.

Ahora dejemos que $x=\sum_{k=1}^\infty t_ka_k$ y, hacia una contradicción, suponer que $x\in V_n$ para algunos $n$ . Poner $$z=\sum_{k\geq n+2} t_ka_k\, .$$ Entonces $z=y-t_{n+1}a_{n+1}$ para algunos $y\in V_{n}$ , a saber $y=x-\sum_{k\leq n} t_ka_k$ . Por la elección de $t_{n+2}$ tenemos $\Vert t_{n+2}a_{n+2}\Vert<\frac 13 \Vert t_{n+1}a_{n+1}-y\Vert=\frac 13\Vert z\Vert$ . Además, como se ha observado anteriormente, también tenemos $\Vert t_{i+1}a_{i+1}\Vert<\frac13 \Vert t_ia_i\Vert$ para cualquier $i\in\mathbb N$ para que $\Vert t_{k}a_k\Vert< \frac{1}{3^{k-n-2}} \Vert t_{n+2}a_{n+2}\Vert$ para todos $k\geq n+2$ . Por lo tanto, obtenemos $\Vert t_{k}a_k\Vert<\frac1{3^{k-n-1}}\Vert z\Vert$ para todos $k\geq n+2$ . Por otro lado, $\Vert z\Vert\leq \sum_{k\geq n+2} \Vert t_ka_k\Vert$ por la desigualdad del triángulo, por lo que obtenemos $$\Vert z\Vert<\sum_{k\geq n+2} \frac1{3^{k-n-1}}\Vert z\Vert=\left(\frac13+\frac1{3^2}+\cdots \right)\Vert z\Vert=\frac12\Vert z\Vert\, . $$ Debido a la estricta desigualdad, esto es una contradicción.