¿Cómo encontrar el grado de la siguiente ecuación diferencial?

Question

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\sin\left(\frac{dy}{dx}\right) $$ Como los coeficientes diferenciales no están en función polinómica el grado no está definido.
Pero podemos escribir esto expandiendo la función seno por la serie de Maclaurin. $$\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)-\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}{3!} \cdots $$ Ahora es un polinomio. Ahora el grado debe ser $1$ . Pero el grado no está definido.

Answer 1

En algo como $\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3$ no tienes una derivada de tercer orden $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ . El orden más alto de las derivadas aquí es $2$ , en el lado izquierdo donde tiene $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ . Así que se podría decir que es una ecuación diferencial de segundo orden.

Sin embargo, yo escribiría $$v=\frac{dy}{dx} \tag 1$$ para que $\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d^2y}{dx^2}$ y luego tienes $$ \frac{dv}{dx} = \sin v, $$ que es un primero- ecuación diferencial de orden. Entonces hallemos $y$ en función de $x$ por la antidiferenciación de ambos lados de $(1)$ .

Answer 2

Ahora es un polinomio

No, no lo es. Sigues teniendo una serie infinita, que no es un polinomio.

Answer 3

Porque me encontré con este interesante problema, quiero dar una solución exacta de la ecuación diferencial

(1) Reducción de la orden $y'(t)=p(t)$

$$ p'(t)=\sin(p(t)) $$

(2) Reducir a un separables forma: $p(t)=\arcsin(q(t))\rightarrow p'(t)=\frac{q'(t)}{\sqrt{1-q^2(t)}}$

$$ q'(t)=q(t)\sqrt{1-p^2(t)}\rightarrow\\ dt=\frac{dq}{q\sqrt{1-p^2}} $$

(3) realizar la integración (que son estándar)

$$ t-t_0=\log\left(\frac{q}{1+\sqrt{1-p^2}}\right) $$

(4) backsubsitution $q=\sin(p)$ y álgebra

$$ t-t_0=\log\left(\tan\left(\frac{p}{2}\right)\right)\rightarrow\\ p(t)=2\arctan\left(e^{t-t_0}\right) $$

Tenga en cuenta la estrecha relación con el soliton soluciones de la Sinusoidal de la ecuación de Gordon

(5) Para obtener la finalresult tenemos que integrar a $p(t)$ una vez más.

$$ y(t)=\int dt p(t)=\\ i \left(\text{Li}_2\left(-i e^{t-t_0}\right)-\text{Li}_2\left(i e^{t-t_0}\right)\right)+t_1=2 \text{Ti}_2(e^{t-t_0}) $$

que se pueden comprobar por diferenciación directa (o integración por partes). Por favor, tenga en cuenta que $\text{Li}_2\left(x\right)\quad, \text{Ti}_2(x)$ denotar la dilogarithmic y la función tangente inversa integral