Convergencia débil en espacios de Sobolev

Question

Consideremos el producto interior por $\langle f,g \rangle_{H^1} = \langle f, g \rangle_{L^2} + \sum_{|\alpha|=1} \langle D^\alpha f, D^\alpha g \rangle_{L^2}$ donde $\alpha$ es un índice múltiple y $D$ denota la derivada débil. Definir $H^1(\Omega)$ como el espacio de funciones que son finitas bajo la norma inducida de este producto interior. Se puede demostrar que $H^1(\Omega)$ es un espacio de Hilbert.

Ahora, supongamos que existe una secuencia de funciones $\{ f_n \} \subset H^1(\Omega)$ que converge débilmente en $H^1$ hasta cierto límite $f \in H^1(\Omega)$ . ¿Puedo decir entonces que esta secuencia converge débilmente al mismo límite bajo la $L^2$ ¿producto interno?

Por una aplicación del Teorema de Banach-Alaoglu, sé que la convergencia débil de esta secuencia en $H^1$ implicará una fuerte convergencia de una subsecuencia en $H^1$ . Y entonces creo que la convergencia fuerte de esta subsecuencia en $H^1$ implicará una fuerte convergencia en $L^2$ también.

Sin embargo, no estoy seguro de que se pueda decir algo sobre toda la secuencia bajo el $L^2$ producto interno y sus propiedades de convergencia débil/fuerte.

Answer 1

$L^2(\Omega)$ es un subespacio de $H^{-1}(\Omega)$ el dual de $H^1(\Omega)$ . Así, una secuencia que converge débilmente en $H^1$ converge débilmente en $L^2$ hasta el mismo límite.

En general, no se puede decir nada sobre la convergencia fuerte en $L^2$ .

Answer 2

No veo cómo una simple declaración ' $L^2(\Omega)$ es un subespacio de $H^{-1}(\Omega)$ ' demuestra que la secuencia débilmente convergente en $H^1$ converge al mismo límite en $L^2$ porque los productos internos en $L^2$ y $H^1$ son diferentes. Aquí está mi intento:

Dejemos que $(u_n)_n$ sea una secuencia que converge débilmente a $u$ en $H^1$ Por lo tanto $(u_n)_n$ está acotado en $L^2$ y podemos extraer una subsecuencia $(u_{\varphi(n)})_n$ que converge débilmente a $v \in L^2$ . $\forall \phi \in C^1_c(\Omega)$ , $\left|\int_\Omega u_{\varphi(n)} \phi'\right| = \left|\int_\Omega u_{\varphi(n)}' \phi\right|\leq C ||\phi||_{L^2}\Rightarrow \left|\int_\Omega v\phi'\right|\leq C ||\phi||_{L^2}$ Por lo tanto $v$ es débilmente diferenciable. Además, $\left|\int_\Omega (u_{\varphi(n)}' - v')\phi\right| = \left|\int_\Omega (u_{\varphi(n)} - v)\phi'\right| \xrightarrow{n\rightarrow \infty} 0$ por la convergencia débil de $(u_{\varphi(n)})_n$ . Por lo tanto, tenemos que $(u_{\varphi(n)}')_n$ converge débilmente a $v'$ en $L^2$ por la densidad de $C^1_c$ en $L^2$ . Para concluir, $\forall f\in H^1, \int_\Omega u_{\varphi(n)} f + \int_\Omega u_{\varphi(n)}' f' \xrightarrow{n\rightarrow \infty} \int_\Omega v f + \int_\Omega v' f'$ por la respectiva convergencia débil de $u_{\varphi(n)}$ y $u_{\varphi(n)}'$ . La unicidad del límite débil implica entonces $v=u$ en $H^1\subset L^2$ .