La condición para un vértice-transitiva gráfico simétrico

Question

Estoy leyendo "Algebraica Teoría de grafos" por Biggs 1974. En la sección sobre simétrica gráficos, se establece que:

Un vértice transitiva gráfico de $X$ es simétrica si y sólo si cada vértice-estabilizador $G_v$ es transitiva en el conjunto de vértices adyacentes a $v$.

Puedo ver por qué esto es una condición necesaria, pero no veo por qué esta es una condición suficiente. ¿Alguien puede dar una breve prueba de este Lema?

Answer 1

Es una pregunta importante porque está relacionada con la distancia regular de gráficos. Primero se supone que cada $G_v$ es transitiva en a $N(v)$. Deje $u,v,x$ $y$ ser los vértices de la gráfica, de tal manera que $u\sim v$$x \sim y$. El gráfico de $X$ es vértice transitiva, de modo que existe un automorphism $\pi$ tal que $\pi(v)=y$. $1=d(u,v)=d(\pi(u),\pi(v))=d(\pi(u),y)$. Por supuesto, existen $g \in G_y$ tal que $g(\pi(u))=x$ por lo que el gráfico de $X$ es simétrica