Necesito un poco de ayuda en la comprobación de
$$\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{50} e^{-t} \,\mathrm dt \right)^{1/2}$$
no es un cuadrado perfecto. La única manera que se me ocurre es repetido integración por partes, que es, obviamente, poco práctico, y yo todavía probablemente no sería capaz de deducir si el resultado era un cuadrado perfecto.
Muchas gracias chicos! :D
Considere la posibilidad de $f(t) = \displaystyle-\left[\sum_{n=0}^{50} \frac{50!(-t)^n}{n!}\right] e^{-t}$, $$f^\prime(t) = -\left[\sum_{i=1}^{50} \frac{50!(-t)^{n-1}}{(n-1)!}\right]e^{-t} +\left[\sum_{n=0}^{50} \frac{50!(-t)^n}{n!}\right] e^{-t} = t^{50}e^{-t}.$$
Por lo tanto, $\displaystyle\int_0^\infty t^{50}e^{-t}\,\mathrm{d}t = \left.-\left[\sum_{n=0}^{50} \frac{50!(-t)^n}{n!}\right] e^{-t}\right|_0^\infty = 50!$.
Desde $50!$ sólo contiene un factor de la prime $47$, no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto $\displaystyle\left(\int_0^\infty t^{50}e^{-t}\,\mathrm{d}t\right)^\frac{1}{2}$ no es ni siquiera un entero.
Sugerencia: Calcular $\displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t}\,\mathrm dt$ por inducción en $n$ - usted debe ser capaz de descubrir un patrón agradable, que le permite conectar el valor de $n = 50$.
Después de hacer eso, también echa un vistazo a la función Gamma.
Confío en que usted puede completar la prueba de que la cantidad resultante no es un cuadrado perfecto.
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