¿de cuántas maneras distintas para elegir 3 monedas?

Question

Lo siento, no sé el correcto términos matemáticos aquí, yo no he tenido una clase de matemáticas en algún tiempo. Eso es probablemente por qué tengo problemas para encontrar una existente pregunta como esta, también. Digamos que hay 4 diferentes tipos de monedas: penny (P), níquel (N), moneda de diez centavos (D), y la cuarta parte (Q). ¿De cuántas maneras distintas se puede tener 3 monedas? Ya hay 3 monedas y 4 posibilidades para cada uno, mi primer pensamiento fue 4x4x4, o de 64, pero eso no es correcto. 2 peniques y un cuerpo aún están a sólo 2 centavos y un níquel no importa si su PPN, PNP, o PNP. No importa el orden. Hice una lista de todas las posibilidades y los contó, pero ¿cuál es la fórmula correcta para usar aquí?

 1. PPP
 2. PPN
 3. PPD
 4. PPQ
 5. PNN
 6. PND
 7. PNQ
 8. PDD
 9. PDQ
10. PQQ
11. NNN
12. NND
13. NNQ
14. NDD
15. NDQ
16. NQQ
17. DDD
18. DDQ
19. DQQ
20. QQQ

Answer 1

Usted tiene tres bolas, y quiere poner en cuatro cubos, denominado $P$, $N$, $D$, y $Q$. Este es un clásico de la aplicación de las estrellas y las barras, y la respuesta es $$\left(\dbinom{4}{3}\right) = \dbinom{4+3-1}{3} = \dbinom{6}{3} = 20.$$

Answer 2

Usted está en lo correcto de que la respuesta es ${6 \choose 3} = 20$. Usted puede utilizar las estrellas y las barras método para averiguar esto.

Esto es equivalente a la selección de cuatro enteros no negativos cuya suma sea 3, que son el número de monedas de un centavo, cinco centavos, diez centavos, y cuartos respectivamente. Cada una de las posibles dicha suma puede ser escrito por la organización de tres estrellas (*) y tres barras (|) que los separan. Hay ${6 \choose 3}$ este tipo de acuerdos, que se parecen a $$*||*|*$$. This corresponds to the 4-tuple $(1, 0, 1, 1)$, o una moneda de un centavo, no hay monedas de cinco centavos, una moneda de diez centavos, y una cuarta parte.

Answer 3

He aquí una solución con el uso de una forma mucho más general del método de Pólya-Burnside lema.

Consideramos que las tres opciones de monedas como un único objeto con tres ranuras que debe ser llenado. Las tres ranuras son indistinguibles, por lo que cualquier permutación de ellos se considera una simetría de este objeto; su grupo de simetría es, por tanto,$S_3$, el grupo simétrico de tres elementos.

Supongamos que hay $N$ opciones de monedas para cada ranura. El Pólya-Burnside lema dice que para hallar el número de maneras de llenar todos los espacios, ajustado por la simetría, es encontrar el número de rellenos que se quedan fijos por cada uno de los seis tipos de simetrías, y el promedio de los seis números.

Los seis tipos de simetrías se dividen en tres clases conjugacy:

1. La identidad de simetría, con tres órbitas
2. Las tres simetrías que el intercambio de dos ranuras y dejar uno fijo, con dos órbitas cada
3. Los dos simetrías que permutar las ranuras de forma cíclica, con una órbita cada

En cada clase conjugacy, el número de maneras de asignar las monedas en las ranuras de modo que la asignación se deja sin cambios por que la simetría es $N^k$ donde $k$ es el número de órbitas y $N$ es el número de tipos de monedas. La identidad de simetría contribuye $N^3$ formas; las tres simetrías de tipo 2 contribuir $N^2$ formas, cada una para un total de $3N^2$, y la de dos simetrías de tipo 3 contribuir $N$ formas, cada una para un total de $2N$. Calculando el promedio de estos nos encontramos con que el número de maneras de asignar $N$ tipos de monedas a las tres ranuras es siempre $$\frac{N^3+3N^2 + 2N}6$$ and taking $N=4$ we find that the particular answer is $$\frac{4^3+3\cdot4^2+2\cdot 4}6 = \frac{120}{6} = 20.$$

También podemos observar que $$\frac{N^3+3N^2 + 2N}6 = \frac{N(N+1)(N+2)}{3!} = \binom{N+2}{3},$$, que está de acuerdo con la solución encontrada por las estrellas-y-bares método descrito en otra parte de este hilo.

Este es un gran martillo para el uso de un poco de problema, pero creo que es instructivo como un simple ejemplo de cómo utilizar la Pólya-Burnside lema.