Demostrando que una función es mayor que otra

Question

¿Cómo puedo demostrar que $f(x)$ $>$ $g(x)$ para todo $x > 0$ dado $f(x) = (x+1)^{2}$ y $g(x) = 4qx$ donde $q$ es una constante en $(0, 1)$?

Mi enfoque fue demostrar que $(x+1)^2 > 4qx$ para los extremos del intervalo, por ejemplo, $q=0$ y $q=1$. Por ejemplo, $(x+1)^2 \geq 4x$ para todo $x$ y $(x+1)^2 > 0$ para todo $x$. Sin embargo, $q \neq 0,1$ así que $f(x) > g(x)$ para todo $x$. Sin embargo, estoy buscando algo más matemáticamente riguroso. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dado que $q \in (0,1)$ y $x > 0$, sabemos que $4xq < 4x$, por lo que basta demostrar la afirmación más fuerte $(x+1)^2 \geq 4x$ para todo $x > 0$. Esto último es equivalente a demostrar $(x+1)^2 - 4x \geq 0$. Con ese fin, tenemos \begin{align*} (x+1)^2 - 4x &= x^2 + 2x + 1 - 4x\\ &= x^2 - 2x + 1\\ &= (x - 1)^2\\ &\geq 0. \end{align*>

Answer 2

Relacionado con una de las soluciones anteriores, sabemos que hay valores positivos para $h(x)=(x+1)^2-4qx$ (¿por qué?) y por lo tanto, si también hubiera valores no positivos, habría raíces para $h(x)=0$. Pero $h(x)=x^2+(2-4q)x+1$ así que $h(x)=0$ tiene raíces reales si y sólo si $(2-4q)^2-4\geq 0$, lo cual significa $(1-2q)^2\geq 1$. Pero si $q\in(0,1)$, entonces $1-2q\in(-1,1)$ y por lo tanto $(1-2q)^2<1$.

Answer 3

Intenta esto: $${ x }^{ 2 }+2x+1-4xq\ge 0\\ { x }^{ 2 }-2x\left( 2q-1 \right) +1+{ \left( 2q-1 \right) }^{ 2 }-{ \left( 2q-1 \right) }^{ 2 }\ge 0\\ { \left( x-2q+1 \right) }^{ 2 }\ge { \left( 2q-1 \right) }^{ 2 }-1$$

Puedes usar esto para cualquier $q$

Answer 4

$\begin{align} f(x)-g(x) &=(x+1)^2-4qx\\ &=x^2+2x+1-4qx\\ &=x^2+2(1-2q)x+1\\ &=x^2+2(1-2q)+(1-2q)^2-(1-2q)^2+1\\ &=(x+1-2q)^2+1-(1-2q)^2\\ \end{align}$.

Since $01-(1-2q)^2>0$ so (finally) $f(x)>g(x)$.

Another way to get this final inequality is $1-(1-2q)^2 = (1-(1-2q))(1+(1-2q)) = 2q(2-2q) = 4q(1-q)$ and both $1$ and $1-q$ are positive.