¿Qué propiedad de los módulos garantiza que la red de módulos se complementa de forma única?

Question

Antecedentes:

Si un módulo $M$ es semisimple entonces cada submódulo $N \subseteq M$ es un sumando directo.

En otros términos, existe un submódulo $H \subseteq M$ tal que $N \cap H = \{0\}$ y $N+H = M$ .

Dada la red de submódulos $L(M)$ (donde el mínimo es $\cap$ y el supremum es $+$ ), podemos considerar qué propiedad podemos imponer al módulo $M$ para que $L(M)$ se complementa (para cada $N$ existe $H$ tal que $N \cap H = \{0\}$ y $N+H = M$ ). En particular, la red de submódulos de un módulo semisimple es complementada si el módulo es semisimple.

Además, se puede imponer que el complemento sea único.

Pregunta:

¿Qué propiedad necesito en $M$ para que $L(M)$ se complementa de forma única?

Ejemplos:

Por ejemplo, $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ tiene un entramado de submódulos dado por:

\begin{matrix} && \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 & \\ &\huge\diagup & \huge| & \huge\diagdown \\ (0,1) && (1,0) && (1,1) \\ &\huge\diagdown & \huge| & \huge\diagup \\ && 0 \end{matrix}

por lo que no tenemos la propiedad de complemento único. Por otro lado, $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$ tiene un entramado de submódulos dado por:

\begin{matrix} && \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3 & \\ &\huge\diagup && \huge\diagdown \\ (1,0) &&& (0,1) \\ &\huge\diagdown && \huge\diagup \\ && 0 \end{matrix}

que se complementa de forma única.

Answer 1

Se necesita que el módulo sea distributivo, lo que, para un módulo semisimple, equivale a ser libre de cuadrados en términos de submódulos simples. (Me refiero a que no haya dos submódulos simples distintos que sean isomorfos).

Si un módulo semisimple no es libre de cuadrados, se puede construir el módulo enrejado de diamante $M_3$ como hiciste en tu primer ejemplo, y eso lo hace no distributivo.

Si el módulo semisimple es libre de cuadrados, entonces los submódulos simples que componen esa factorización libre de cuadrados tienen que ser únicos dentro del módulo. Dado que los complementos son obviamente isomorfos, entonces deben estar formados por los mismos submódulos simples, pero como éstos son únicos, los complementos son en realidad iguales.

Probablemente encontrará este documento de Dilworth muy informativo.

Answer 2

Reutilizando las ideas de @rschwieb (comprobando los detalles para mi propia referencia)

Lema

Sea $M$ sea un módulo semisimple. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$L(M)$ es una red distributiva. $M$ no tiene cuadrado $L(M)$ se complementa de forma única.

Prueba

Probamos circularmente las implicaciones:

Distributivo $\implies$ cuadrado libre

Si un módulo semisimple no es libre de cuadrados, entonces podemos construir una red romboidal como en el ejemplo anterior y eso hace que no sea distributivo.

En efecto, si no es cuadrado libre significa que hay dos submódulos simples $S_1\cong S_2$ donde $f$ es un isomorfismo entre los dos. En este caso, podemos construir el submódulo $S_1 \times f(S_2) = \{(s,f(s)):s \in S_1\}$ . No es difícil demostrar desde aquí que de hecho $S_1,S_2$ tienen como complemento $S_1 \times f(S_2)$ (se puede hacer por elementos). Y, por tanto, habríamos completado un enrejado de diamante. Por lo tanto, la red no puede ser distributiva.

Cuadrado libre $\implies$ complemento único

Dado el submódulo $N$ . Los complementos posibles son isomorfos. Si $N_1,N_2$ son dos complementos distintos, entonces $M = N \oplus N_1 = N \oplus N_2$ . Entonces, tomando cociente tendríamos $M/N \cong N_1 \cong N_2$ (para ver esto aplica el primer teorema del isomorfismo a la proyección que sale de la suma).

Dado que los homomorfismos de módulo de imagen directa e inversa preservan los submódulos, los submódulos simples son invariantes bajo estos homomorfismos, lo que significa que existe una biyección entre submódulos simples de $N_1$ y $N_2$ llevando un submódulo simple a un par isomorfo. Pero como $N$ es cuadrado libre, la biyección es en realidad e identidad, por lo que $N_1,N_2$ tienen los mismos submódulos simples.

Desde entonces, $N_1,N_2$ son semi-simples, son la suma de sus submódulos simples y por lo tanto $N_1 = N_2$ . Así pues, los complementos de $N$ son iguales.

Complemento único $\implies$ Distributivo

Esta parece ser una proposición general cuya demostración se encuentra en "Lattices and Ordered Algebraic Structures" de T.S. Blyth y se atribuye a Von Neumann.