Son todos de alimentación de automorfismos de un número finito de abelian grupo de la forma $f(x)=x^n$?

Question

Un ejemplo de un poder universal automorphism, que es automorfismos de la forma $f(x)=x^n$, es fácil encontrar en un grupo abelian. Cualquier potencia de $n$ trabajar siempre es primo relativo a las órdenes de todos los elementos del grupo.

Más en general, una potencia de automorfismos envía los $g \in G$ a una potencia de $g$. De forma equivalente, los mapas de todos los subgrupos $H$ $G$ H. Mi corazonada es que cualquier poder automorphism de un grupo abelian debe ser un poder universal automorphism. ¿Es esto cierto?

(En general, el poder automorfismos que no son de alimentación universal de automorfismos de grupos finitos. A ver mi pregunta aquí. El ejemplo en ese caso no es abelian, sin embargo.)

Answer 1

Cada finitely generado abelian grupo tiene una descomposición

$$ \mathbb{Z}/n_1\oplus\mathbb{Z}/n_2\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/n_k $$

para algunos módulos de $n_1,n_2,\cdots,n_k$.

Deje $\phi$ ser un llamado poder automorphism. El uso de $g_i$ para las coordenadas de la base, por lo $g_1=(1,0,\cdots,0)$ por ejemplo. A continuación, $\phi(g_i)=e_ig_i$ $i=1,\cdots,k$ para algunos números de $e_1,\cdots,e_k$. (En la notación multiplicativa, estos serían los exponentes.) Por lo $\phi$ actos "en diagonal" a través de la fórmula

$$ \phi(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(e_1x_1,e_2x_2,\cdots,e_nx_n). $$

Desde $\phi$ es un poder automorphism, podemos escribir

$$ \begin{array}{ll} \phi(1,1,\cdots,1) & =e(1,1,\cdots,1) \\ & =(e,e,\cdots,e) \end{array} $$

para algunos entero $e$ y también se puede escribir

$$ \phi(1,1,\cdots,1)=(e_1,e_2,\cdots,e_k). $$

Por lo tanto, $e\equiv e_i \mod n_i$ por cada $i=1,\cdots,k$, por lo que tenemos

$$ \phi(x_1,\cdots,x_n)=(e_1x_1,\cdots,e_kx_k)=(ex_1,\cdots,ex_k) $$

es decir, $\phi(x)=ex$ (o en la notación multiplicativa, $\phi(x)=x^{\large e}$), Q. E. D.

Nota esta bien por cualquiera de $n_1,\cdots,n_k$$0$, lo $G$ no necesita ser finito.

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Esto no es cierto para el infinito de torsión abelian grupos. En particular, se puede obtener el "poder" como los automorfismos que en realidad no son entero el mapa de poder. Por ejemplo, en el $p$-componente principal de la aditivo factor de grupo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, el llamado Prufer $p$-grupo que es el grupo aditivo de $\mathbb{Z}[1/p]$ mod el subgrupo $\mathbb{Z}$, podemos multiplicar por un $p$-ádico entero que no necesita ser racional entero, o incluso racional.